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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题三一元函数的导数及其应用考点9导数的运算及几何意义题组一、选择题1.[2023全国卷甲,5分]曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为(C)A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e4[解析]由题意可知y&#039;=ex(x+1)−ex(x+1)2=xex(x+1)2,则曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线斜率k=y&#039;¿x=1=e4,所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y−e2=e4(x−1),即y=e4x+e4,故选C.2.[2021新高考卷Ⅰ,5分]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(D)A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea[解析]设切点(x0,y0),y0>0,则切线方程为y−b=ex0(x−a).由{y0−b=ex0(x0−a),y0=ex0得ex0(1−x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程ex0(1−x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1−x+a),则f&#039;(x)=ex(1−x+a)−ex=−ex(x−a).由f&#039;(x)=0得x=a,所以当x<a时,f&#039;(x)>0,f(x)单调递增,当x>a时,f&#039;(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(a)=ea(1−a+a)=ea.当x<a时,a−x>0,所以f(x)>0,当x→−∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→−∞,所以函数f(x)=ex(1−x+a)的大致图象如图所示,因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点,所以0<b<ea.故选D.【速解】过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则点(a,b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方,得0<b<ea.故选D.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3.[2020全国卷Ⅰ,5分]函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(B)A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1[解析] f(x)=x4−2x3,∴f&#039;(x)=4x3−6x2,∴f&#039;(1)=−2,又f(1)=1−2=−1,∴所求的切线方程为y+1=−2(x−1),即y=−2x+1.故选B.【方法技巧】曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=(x−x0)f&#039;(x0),其中f&#039;(x0)表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.求曲线的切线方程应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.4.[2019全国卷Ⅲ,5分]已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(D)A.a=e,b=−1B.a=e,b=1C.a=e−1,b=1D.a=e−1,b=−1[解析]因为y&#039;=aex+lnx+1,所以y&#039;¿x=1=ae+1,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y−ae=(ae+1)(x−1),即y=(ae+1)x−1,所以{ae+1=2,b=−1,解得{a=e−1,b=−1.【方法技巧】已知曲线在某点处的切线方程求参数的关键是用“方程思想”来破解,先求出函数的导数,从而求出曲线在某点处的导数值;再根据导数的几何意义与已知条件,建立关于参数的方程,通过解方程求出参数的值.二、填空题5.[2022新高考卷Ⅱ,5分]曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y=1ex,y=−1ex.[解析]先求当x>0时,曲线y=lnx过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),则由y&#039;=1x,得切线斜率为1x0,又切线的斜率为y0x0,所以1x0=y0x0,解得y0=1,代入y=lnx,得x0=e,所以切线斜率为1e,切线方程为y=1ex.同理可求得当x<0时的切线方程为y=−1ex.综上可知,两条切线方程分别为y=1ex,y=−1ex.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.[2022新高考卷Ⅰ,5分]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).[解析]因为y=(x+a)ex,所以y&#039;=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)ex0),O为坐标原点,依题意得,切线斜率kOA=y&#039;¿x=x0=(x0+a+1)ex0=(x0+a)ex0x0,化简,得x02+ax0−a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x0的方程x02+ax0−a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a←4或a>0,所以a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).7.[2021全国卷甲,5分]曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为y=5x+2.[解析]y&#039;=(2x−1x+2)&#039;=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2,所以y&#039;¿x=−1=5(−1+2)2=5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.8.[2021新高考卷Ⅱ,5分]已知函数f(x)=|ex−1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(...

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