小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题五平面向量考点13平面向量的概念与运算题组一、选择题1.[2023新高考卷Ⅰ，5分]已知向量a=(1,1)，b=(1,−1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则(D)A.λ+μ=1B.λ+μ=−1C.λμ=1D.λμ=−1[解析]因为a=(1,1),b=(1,−1)，所以a+λb=(1+λ,1−λ)，a+μb=(1+μ,1−μ)，因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以(a+λb)⋅(a+μb)=0，（易错警示：两向量垂直，其数量积为0，注意与两直线垂直（两直线的斜率存在），其斜率之积为−1的区别）所以(1+λ)(1+μ)+(1−λ)(1−μ)=0，整理得λμ=−1.故选D.2.[2023全国卷甲，5分]已知向量a,b,c满足|a)=|b)=1,|c)=❑√2,且a+b+c=0，则cos⟨a−c,b−c⟩=¿(D)A.−45B.−25C.25D.45[解析] a+b+c=0,∴c=−a−b，等式两边同时平方得2=a2+b2+2a⋅b=1+1+2a⋅b，∴a⋅b=0.解法一 a−c=a−(−a−b)=2a+b,b−c=b−(−a−b)=a+2b,∴(a−c)⋅(b−c)=(2a+b)⋅(a+2b)=2a2+5a⋅b+2b2=4，且|a−c)=|2a+b)=❑√(2a+b)2=❑√4+1=❑√5,|b−c)=|a+2b)=❑√(a+2b)2=❑√1+4=❑√5，∴cos⟨a−c,b−c⟩=(a−c)⋅(b−c)|a−c)⋅|b−c)=45，故选D.解法二如图，令⃗OA=a,⃗OB=b,则⃗OC=c,∴⃗CA=a−c,⃗CB=b−c，而|AB)=❑√2,|AC)=|BC)=❑√5，在△ABC中，由余弦定理得cos⟨a−c,b−c⟩=cos⟨⃗CA,⃗CB⟩=cos∠ACB=5+5−22❑√5×❑√5=45，故选D.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解法三如图，令向量a,b的起点均为O，终点分别为A,B,以⃗OA,⃗OB分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a=(1,0),b=(0,1),c=−a−b=(−1,−1)，∴a−c=(2,1),b−c=(1,2)，则cos⟨a−c,b−c⟩=(a−c)⋅(b−c)|a−c)⋅|b−c)=2+2❑√5×❑√5=45，故选D.3.[2022新高考卷Ⅰ，5分]在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=¿(B)A.3m−2nB.−2m+3nC.3m+2nD.2m+3n[解析]因为BD=2DA，所以⃗AB=3⃗AD,所以⃗CB=⃗CA+⃗AB=⃗CA+3⃗AD=⃗CA+3(⃗CD−⃗CA)=−2⃗CA+3⃗CD=−2m+3n．故选B．【速解】如图，利用平行四边形法则，合成出⃗CB，由图易知⃗CA（即向量m）的系数为负数，排除A,C,D，故选B．4.[2022全国卷乙，5分]已知向量a，b满足|a)=1,|b)=❑√3，|a−2b)=3,则a⋅b=¿(C)A.−2B.−1C.1D.2[解析]由|a−2b)=3，可得|a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2=9.又|a)=1,|b)=❑√3，所以a⋅b=1，故选C.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若⟨a,c⟩=⟨b,c⟩,则t=¿(C)A.−6B.−5C.5D.6[解析]由题意，得c=a+tb=(3+t,4)，所以a⋅c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b⋅c=1×(3+t)+0×4=3+t．因为⟨a,c⟩=⟨b,c⟩，所以cos⟨a,c⟩=cos⟨b,c⟩，即a⋅c|a)|c)=b⋅c|b)|c)，即25+3t5=3+t，解得t=5，故选C．【速解】因为⟨a,c⟩=⟨b,c⟩,且c=a+tb,所以由向量加法的平行四边形法则得|a)=t|b),易知|a)=5，|b)=1，所以t=5.6.[2020全国卷Ⅲ，5分]已知向量a,b满足|a)=5,|b)=6,a⋅b=−6,则cos⟨a,a+b⟩=¿(D)A.−3135B.−1935C.1735D.1935[解析]由题意，得a⋅(a+b)=a2+a⋅b=25−6=19，|a+b)=❑√a2+2a⋅b+b2=❑√25−12+36=7，所以cos⟨a，a+b⟩=a⋅(a+b)|a)|a+b)=195×7=1935，故选D.7.[2019全国卷Ⅱ，5分]已知⃗AB=(2,3)，⃗AC=(3,t)，|⃗BC)=1，则⃗AB⋅⃗BC=¿(C)A.−3B.−2C.2D.3[解析]因为⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,t−3)，所以|⃗BC)=❑√1+(t−3)2=1，解得t=3，所以⃗BC=(1,0)，所以⃗AB⋅⃗BC=2×1+3×0=2，故选C.8.[2019全国卷Ⅰ，5分]已知非零向量a，b满足|a)=2|b)，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为(B)A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析]设a与b的夹角为α， (a−b)⊥b,∴(a−b)⋅b=0,∴a⋅b=b2，∴|a)⋅|b)cosα=|b)2，又|a)=2|b),∴cosα=12, α∈[0,π],∴α=π3.故选B.【速解】令⃗OA=a,⃗OB=b，如图所示，则a−b=⃗BA.由(a−b)⊥b知，∠ABO=π2，△OAB是直角三角形...