小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题七不等式考点19不等式的性质与解法、基本不等式题组一、选择题1.[2021全国卷乙，5分]下列函数中最小值为4的是(C)A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4|sinx|C.y=2x+22−xD.y=lnx+4lnx[解析]对于选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=−1时，y取得最小值，且ymin=3，所以选项A不符合题意.对于选项B，令|sinx|=t,则0<t≤1,由函数y=t+4t在¿上单调递减可知y≥5，所以选项B不符合题意.对于选项C，因为y=2x+22−x≥2❑√2x⋅22−x=4，当且仅当2x=22−x，即x=2−x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以选项C符合题意.对于选项D，当0<x<1时，lnx<0，y=lnx+4lnx<0，所以选项D不符合题意.故选C.【易错点拨】利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到.2.[2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是(C)A.0B.1C.2D.3[解析]因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinα，cosβ,sinβ，cosγ,sinγ，cosα均为正数.由基本不等式可知sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，当且仅当sinα=cosβ,sinβ=cosγ,sinγ=cosα，即α=β=γ=π4时取等号，因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα<32，所以这三个小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com值不会都大于12.若取α=π6,β=π3,γ=π4，则sinπ6cosπ3=12×12=14<12，sinπ3cosπ4=❑√32×❑√22=❑√64>24=12，sinπ4cosπ6=❑√22×❑√32=❑√64>12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.3.[2020北京，4分]已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是(D)A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)[解析]函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x+1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=x+1的图象（图略），结合图象易得2x>x+1的解集为(−∞,0)∪(1,+∞)，故选D.二、填空题4.[2021天津，5分]若a>0,b>0,则1a+ab2+b的最小值为2❑√2.[解析]1a+ab2+b≥2❑√1a⋅ab2+b=2b+b≥2❑√2,当且仅当{1a=ab2,2b=b,即a=b=❑√2时取等号,所以1a+ab2+b的最小值为2❑√2.5.[2020天津，5分]已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4.[解析]依题意得12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2❑√a+b2×8a+b=4，当且仅当{a>0,b>0,ab=1,a+b2=8a+b,即{ab=1,a+b=4时取等号.因此，12a+12b+8a+b的最小值为4.6.[2020江苏，5分]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是45.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[解析]解法一由5x2y2+y4=1得x2=15y2−y25，则x2+y2=15y2+4y25≥2❑√15y2⋅4y25=45，当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号，则x2+y2的最小值是45.解法二4=(5x2+y2)⋅4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+y2)2，则x2+y2≥45，当且仅当5x2+y2=4y2=2，即x2=310,y2=12时取等号，则x2+y2的最小值是45.7.[2019天津，5分]设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为92.[解析]解法一由题意知x=4−2y，代入得(4−2y+1)(2y+1)(4−2y)y=−4y2+8y+5−2y2+4y=2+5−2y2+4y，当y=1时，−2y2+4y取得最大值2，此时原式取得最小值，所以(x+1)(2y+1)xy≥2+52=92.解法二由题意知y=2−x2，代入得(x+1)(4−x+1)x(2−x2)=(2x+2)(5−x)(4−x)x=−2x2+8x+10−x2+4x=2+10−x2+4x，当x=2时，−x2+4x取得最大值4，此时原式取得最小值，所以(x+1)(2y+1)xy≥2+52=92.解法三由题意知(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，因为x>0,y>0，所以4=x+2y≥2❑√2xy，即xy≤2，当且仅当x=2y=2时取“¿”，所以(x+1)(2y+1)xy≥2+52=92.8.[2019北京，5分]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨...