数学试题答案第页（共５页）故甲答对的题目比乙多的概率为４９．１２分………………………………………………"%$#２２．解：（１）在△ＡＤＣ中，∵∠ＡＤＣ＝π３，由余弦定理得ＡＣ＝１＋４－２×１×２×１２＝３，１分………………………………………∴ＡＣ２＋ＡＤ２＝３＋１＝４＝ＤＣ２，（或由正弦定理得：３ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝１ｓｉｎ∠ＡＣＤ）２分…………………………………………………………………………………∴∠ＤＡＣ＝π２，∠ＡＣＤ＝π６，３分……………………………………………………………∵△ＡＢＣ为等边三角形，∴ＢＣ＝３，∠ＡＣＢ＝π３，∴∠ＤＣＢ＝π６＋π３＝π２，４分…………∴Ｓ△ＢＣＤ＝１２×２×３＝３（ｋｍ２）．５分………………………………………………………（２）①解法一：不妨设∠ＡＤＣ＝θ，∠ＡＣＤ＝α，θ∈（０，π），α∈（０，π２）∴在△ＢＣＤ中，Ｓ△ＢＣＤ＝１２·ＤＣ·ＢＣ·ｓｉｎ（α＋π３）＝１２ＢＣ·（ｓｉｎα＋３ｃｏｓα）．６分…………在△ＡＣＤ中，由余弦定理得ＡＣ２＝５－４ｃｏｓθ，７分…………………………………………又１＝ＡＣ２＋４－２ＡＣ·２ｃｏｓα，∴ｃｏｓα＝ＡＣ２＋３４ＡＣ，∴ｃｏｓα＝２－ｃｏｓθＡＣ，８分………………………………………………………………………在△ＡＣＤ中，由正弦定理得ＡＣｓｉｎθ＝１ｓｉｎα，∴ｓｉｎα＝ｓｉｎθＡＣ，９分………………………………∴Ｓ△ＢＣＤ＝１２ＢＣ·ｓｉｎθＡＣ＋３×２－ｃｏｓθＡＣæèçöø÷＝１２ｓｉｎθ－３２ｃｏｓθ＋３＝ｓｉｎ（θ－π３）＋３≤１＋３．１０分……………………………………………………………………………………………又θ∈（０，π），当且仅当θ－π３＝π２，即θ＝５π６时等号成立．１１分…………………………２），Ｓ△ＢＣＤ＝１②解法二：不妨设∠ＡＤＣ＝θ，∠ＡＣＤ＝α（０＜θ＜π，０＜α＜∴Ｓ△ＢＣＤ最大值为１＋３（ｋｍ２）．…………………………………………………１２分π２ＤＣ·ＢＣ·ｓｉｎ（π３＋α）＝１２ＢＣ（ｓｉｎα＋３ｃｏｓα）＝１２ＡＣ（ｓｉｎα＋３ｃｏｓα），６分……在△ＡＣＤ中，由余弦定理得ＡＣ＝ＡＤ２＋ＤＣ２－２ＡＤ·ＤＣｃｏｓθ＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓθ＝４【公众号：人生前三十】群内专属资料，加入交流群，免费领取更多资料。数学试题答案第页（共５页）５－４ｃｏｓθ，７分…………………………………………………………………………………由正弦定理得ＡＣｓｉｎθ＝ＡＤｓｉｎα，即５－４ｃｏｓθｓｉｎθ＝１ｓｉｎα，∴ｓｉｎα＝ｓｉｎθ５－４ｃｏｓθ，又０＜α＜π２，８分………………………………………………………∴ｃｏｓα＝１－ｓｉｎ２α＝１－ｓｉｎ２θ５－４ｃｏｓθ＝５－４ｃｏｓθ－ｓｉｎ２θ５－４ｃｏｓθ＝４－４ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ５－４ｃｏｓθ＝２－ｃｏｓθ５－４ｃｏｓθ，９分…………………………………………………………………………………………∴Ｓ△ＢＣＤ＝１２·５－４ｃｏｓθ·ｓｉｎθ５－４ｃｏｓθ＋３×２－ｃｏｓθ５－４ｃｏｓθæèçöø÷＝１２ｓｉｎθ－３２ｃｏｓθ＋３＝ｓｉｎ（θ－π３）＋３≤１＋３，１０分…………………………………………………由０＜θ＜π知－π３＜θ－π３＜２π３，∴当且仅当θ－π３＝πθ＝２，即５π６时等号成立，１１分………………………………………∴Ｓ△ＢＣＤ最大值为１＋３（ｋｍ２）．…………………………………………………１２分５【公众号：人生前三十】群内专属资料，加入交流群，免费领取更多资料。