小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题25数列第一缉1．【2021年浙江预赛】设a0=0,a1=a2=1,a3n=an,a3n+1=a3n+2=an+1(n≥1),则a2021=¿.【答案】6【解析】a2021=a3×673+2=a673+1=a3×224+1+1=a224+2¿a3×74+2+2=a74+3=a3×24+2+3=a24+4=a8+4=a2+5=6.2．【2021年浙江预赛】设数列an+1=[an2]+[an3],n=1,2,⋯,7,这里[x]表示不超过x的最大整数。若a8=8,则正整数a1有种可能的取值情况。【答案】7【解析】由a8=8,可得a7=10或11,可得a6=12或13或14;可得a5=15或16或17可得a4=18或19或20或21;可得a3=22或23或24或25或26，可得a2=27或28或29或30或31或32;可得a1=33或34或35或36或37或38,39，共7种.3．【2021年新疆预赛】已知数列{an}满足a1=1,a2=4,a3=10,对任意的n≥2有an+12−2an2=anan+2−2an−1an+1,则a21的个位数字是.【答案】6【解析】 an+12−2an2=anan+2−2an−1an+1,∴an+1(an+1+2an−1)=an(an+2+2an),∴an+1+2an−1an=an+2+2anan+1,∴{an+1+2an−1an}是常数列，又a3+2a1a2=3,∴an+2+2anan+1=3,∴an+1=3an−2an−1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由特征根方程求得an=3×2n−1−2,∴a21的个位数字为6.4．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】等差数列{an}满足a2021=a20+a21=1,则a1的值为.【答案】19814001【解析】设{an}的公差为d.由条件知{a1+2020d=1,2a1+39d=1,解得a1=19814001.5．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】等差数列{an}的公差d≠0,且a2021=a20+a21,则a1d的值为.【答案】1981【解析】由条件知a1+2020d=a1+19d+a1+20d,又d≠0,故a1d=1981.6．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列{an}中,a9=13,a3=1,则loga113的值为.【答案】13【解析】由等比数列的性质知a1a9=(a9a13)2,a1=a93a132=133.所以loga113=13.7．【2020年甘肃预赛】设数列{an}满足:a1=14,an+1=an+an2¿.记T2020=1a1+1+1a2+1+⋯+1a2020+1.若T2020的值在区间(k,k+1)内,则整数k的值为.【答案】3【解析】由题意知1an+1=1an(an+1)=1an−1an+1⇒1an+1=1an−1an+1⇒T2020=1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1a2020−1a2021小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com=1a1−1a2021=4−1a2021.下证T2020∈(3,4),只需证a2021>1.由an+1=an+an2>an⇒a17=a162+a152+⋯+a22+a1>16a12=1.由归纳法,知对于任意的n>17,an>1,则T2020∈(3,4),即k=3.8．【2020年广西预赛】设数列{an}的前两项分别为a1=2,a2=4.设bn=an+1−an.若数列{bn}是公差为1的等差数列,则a2020=¿.【答案】2041211【解析】易知,b1=a2−a1=2.由{bn}的公差为1知bn=n+1故a2020=a1+∑i=12019bi¿2+2+3+⋯+2020¿2041211.9．【2020年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,⋯该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数均等于它前面两个数的和.把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.则(a1a3+a2a4+a3a5+⋯+a2019a2021)−¿(a22+a32+a42+⋯+a20202)=.【答案】1【解析】由题意知a1a3−a22=1,a2a4−a32=−1，a3a5−a42=1,a4a6−a52=−1，……由此可归纳出结论anan+2−an+12=(−1)n+1¿.则原式小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com¿(a1a3−a22)+(a2a4−a32)+¿(a3a5−a42)+⋯+(a2019a2021−a20202),即1009个−1与1010个1相加，结果为1.10．【2020年四川预赛】已知数列{an}满足:a0=❑√6,an+1=[an]+1{an}，其中,[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a−[a].则a2020=¿.【答案】6060+❑√6【解析】注意到，a0=❑√6=2+(❑√6−2),a1=2+1❑√6−2=4+❑√6−22，a2=4+2❑√6−2=8+(❑√6−2)，a3=8+1❑√6−2=10+❑√6−22，a4=10+2❑√6−2=14+(❑√6−2).由数学归纳法易得a2k=6k+...