小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题22平面向量第一缉1．【2021年福建预赛】如图,在四边形ABCD中,已知cos∠BAD=34,∠BAC=∠DAC,AD<AB,且AB=5,AC=BD=❑√14.若⃑AC=λ⃑AB+μ⃑AD(λ,μ∈R),则λ+μ=¿.【答案】75【解析】在△ABD中由余弦定理，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD.所以,14=25+AD2−2⋅5⋅AD⋅34.解得,AD=2,或AD=112(由AD<AB=5,舍去).因此,AD=2.解法一：如图，在AB上取点E,使得AE=2.连接DE,交AC于点F.则由AC为∠BAD的平分线知,AF⊥DE,F为DE中点.在△ADE中由余弦定理,得DE2=22+22−2⋅2⋅2⋅34=2.所以,AF=❑√AE2−(12DE)2=❑√4−12=❑√142=12AC.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,⃑AC=2⃑AF=⃑AE+⃑AD=25⃑AB+⃑AD.所以,λ=25,μ=1,λ+μ=75.解法二:由AC平分∠BAD,可设⃑AC=m¿.因此,⃑AC=m(⃑AB5+⃑AD2),⃑AC2=m2⋅(⃑AB5+⃑AD2)2=m2⋅(⃑AB252+2⋅⃑AB5⃑AD2+⃑AD222)¿m2⋅(1+2⋅cos∠BAD+1)=72m2.又AC=❑√14,所以,72m2=14,m=2,⃑AC=2(⃑AB5+⃑AD2)=25⃑AB+⃑AD.所以,λ=25,μ=1,λ+μ=75.2．【2021年重庆预赛】已知点H是△ABC的垂心，且满足⃑HA+2⃑HB+6⃑HC=⃑0,则角B=¿.【答案】π3【解析】由于点H是△ABC的垂心，则：tanA⋅⃑HA+tanB⋅⃑HB+tanC⋅⃑HC=⃗0,所以tanA=tanB2=tanC6.又tanA⋅tanB⋅tanC=tanA+tanB+tanC,所以tanB=❑√3,即B=π3.3．【2021年浙江预赛】已知单位向量⃗a,⃗b,则¿⃗a−2⃗b∨¿的取值范围为.【答案】1≤∨⃗a−2⃗b∨≤3【解析】¿⃗a−2⃗b∨¿❑√5−4⃗a⋅⃗b,−1≤⃗a⋅⃗b≤1,所以1≤∨⃗a−2⃗b∨≤3.4．【2021年广西预赛】已知⃗m为非零向量，⃗n为单位向量,⃗m≠⃗n,⃗m与⃗m−⃗n的夹角为60°,∨⃗m∨∈¿,则a的最小值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】2❑√3【解析】在△ABC中设⃑CA=⃗m,⃑CB=⃗m−⃗n,则⃑BA=⃗n.设AD为△ABC的外接圆的直径.则|⃑AD|¿2❑√3,|⃗m∨¿∨⃑CA∨≤∨⃑AD∣=2❑√3,(当AC为外接圆的直径时取等号）.5．【2021年新疆预赛】己知A,B,C为圆O¿为坐标原点)上不同的三点,且∠AOB=2π3,若⃑OC=λ⃑OA+μ⃑OB(λ,μ∈R)，则当ω=❑√3λ+λ+μ取最大值时，λu=¿.【答案】❑√3+12【解析】要使(❑√3+1)λ+μ最大，则λ>0,μ>0所以C必在劣弧´AB内，不妨设半径为1,如图所示,以O为原点，⃑OA方向为x轴建立平面直角坐标系，并设¿⃑OA,⃑OC≥θ,θ∈(0,2π3),则A(1,0),B(−12,❑√32),C(cosθ,sinθ),故:(cosθ,sinθ)=⃑OC=λ⃑OA+μ⃑OB=λ(1,0)+μ(−12,❑√32)=(λ−μ2,❑√32μ)①所以λ−μ2=cosθ,❑√32μ=sinθ，解得μ=2sinθ❑√3,λ=cosθ+sinθ❑√3，故：(❑√3+1)λ+μ=(❑√3+1)sinθ+(❑√3+1)cosθ=(❑√6+❑√2)sin(θ+π4),小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而θ∈(0,2π3),故θ+π4∈(π4,11π12)故当θ+π4=π2即θ=π4时,sin(θ+π4)=1,故ω=❑√3λ+λ+μ的最大值为❑√6+❑√2,将θ=π4代入①,此时λμ=❑√3+12.6．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在椭圆Γ中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,F1,F2为两个焦点.若⃗AF1⋅⃗AF2+⃗BF1⋅⃗BF2=0,则¿AB∨¿¿F1F2∨¿¿¿的值为.【答案】❑√22【解析】不妨设Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(a,0),B(0,b),F1(−c,0),F2(c,0),其中c=❑√a2−b2.由条件知⃗AF1⋅⃗AF2+⃗BF1⋅⃗BF2=(−c−a)¿.所以¿AB∨¿¿F1F2∨¿=❑√a2+b22c=❑√2c22c=❑√22¿¿.7．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在凸四边形ABCD中,⃗BC=2⃗AD点P是四边形ABCD所在平面上一点,满足⃗PA+2020⃗PB+⃗PC+2020⃗PD=⃗0.设s,t分别为四边形ABCD与ΔPAB的面积,则ts=.【答案】3...