小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M是集合A={1，2，…，100}的子集，且M中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M的个数是.【答案】288(212−1).【解析】集合A={1,2,⋯,100}中的平方或者立方数构成集合B={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81,100},其中有12个元素,从A中挖去集合B后剩下的元索构成集合C,则C中有88个元索,由于C的子集有288个,B的非空子集有212−1个,集M可表示为M=B0∪C0形式,其中B0是B的任一非空子集,C0是C的任一子集,因此M的个数为288(212−1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算A⊗B={x∣x=ab+a+b,a∈A,b∈B}.设A={0,2,4,⋯,18},B={98,99,100},则A⊗B中的所有元素之和为.【答案】29970【解析】由x=(a+1)(b+1)−1,则可知所有元素之和为(1+3+⋯+19)×300−3×10=29970.3．【2021年广西预赛】集合M={1,2,3,4,5,6}的所有子集的元素的和等于.【答案】672【解析】所有子集的元素的和为25(1+2+3+4+5+6)=672.4．【2021年新疆预赛】若实数集合{3,6,9,x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则x的值为.【答案】94【解析】若x是最大元素，则3x=18+x,解得x=9,不合题意；若x是最小元素，则9x=18+x,解得x=94；若x既不是最大元素也不是最小元素，则27=18+x,解得x=9,不合题意；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以x=94.5．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a2∣a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为.【答案】−8【解析】由条件知1,2,4,m,m2(允许有重复）为C的全部元素.注意到,当m为实数时,1+2+4+m+m2>6,1+2+4+m2>6,故只可能是C={1,2,4,m},且1+2+4+m=6.于是m=−1(经检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4×(−1)=−8.6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.7．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,集合A={x∣x2−x−6<0},B={x∣2x2−3[x]−5=0}.则A∩B=¿.【答案】{−1,❑√222}【解析】易知,A=(−2,3).若x∈A,则[x]=−2,−1,0,1,2.当[x]=−2时,若x∈B,则2x2+6−5=0,x不存在.当[x]=−1时,若x∈B,则2x2+3−5=0⇒x=±1.经检验,x=1不符合要求,x=−1符合要求.当[x]=0时,若x∈B,则2x2−0−5=0⇒x=±❑√102，均不符合要求.当[x]=1时,若x∈B,则2x2−3−5=0⇒x=±2,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com均不符合要求.当[x]=2时,若x∈B,则2x2−6−5=0⇒x=±❑√222.经检验,x=❑√222符合要求,x=−❑√222不符合要求.故A∩B={−1,❑√222}.8．【2020年甘肃预赛】设集合:A={(x,y)∣logax+logay>0},B=¿(x,y)∨x+y<a}.若A∩B=∅,则a的取值范围是.【答案】¿【解析】若a>1,则A={(x,y)∣xy>1}.而当x+y=a与xy=1相切时，x+1x=a⇒x2−ax+1=0⇒a=2.于是,当a∈¿时,A∩B=∅.若a<1,则A={(x,y)∣xy<1},此时，A∩B≠∅.综上,a∈¿.9．【2020年广西预赛】已知集合M={1,2,⋯,2020},对M的任意非空子集A,λA为集合A中最大数与最小数的和.则所有这样的λA的算术平均数为.【答案】2021【解析】考虑M的子集A&#039;={2021−x∣x∈A}.若A&#039;=A,则λA&#039;=λA=2021.若A&#039;≠A,设A中最大数为a,最小数为b,则A&#039;中最大数为2021−b,最小数为2021-a，此时,λA&#039;+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合M={1,2,⋯,2020},A⊆M,且对集合A中的任意元素x,4x∉A.则集合A的元索个数的最大值为.【答案】1616【解析】首先,构造404个集合{k,4k},其中，k=1;8,9,⋯,31;127...