小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题37不等式第六缉1．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】设实数a、b、c满足a+b+c=0.令d=max{|a|,|b|,|c|}，证明:¿(1+a)(1+b)(1+c)∨⩾1−d2.【答案】证明见解析【解析】当d≥1时，不等式显然成立以下设0≤d<1.不妨设a、b不异号，即ab≥0，那么有(1+a)(1+b)=1+a+b+ab⩾1+a+b=1−c⩾1−d>0.因此¿(1+a)(1+b)(1+c)∨⩾∨(1−c)(1+c)∨¿1−c2=1−¿c¿2⩾1−d2.2．【2017年天津预赛】如果整数n≥2,证明:(1+122)(1+132)⋯(1+1n2)<2.【答案】证明见解析【解析】解法一在熟知的不等式1+x≤ex中,分别取x=122,132,⋯,1n2,就得到原式左端≤e12+132+⋯+1n2.注意到1k2<1k2−14=1k−12−1k+12,令k从2到n求和,即得122+132+⋯+1n2<(12−12−12+12)+(13−12−13+12)+⋯+(1n−12−1n+12)=23−22n+1<23，因此,待证式左端¿e23.注意e<2.8<❑√8,就得到e23<2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解法二我们对n用数学归纳法证明加强的结论:∏k=2n(1+1k2)<2−2n+1，当n=2时,1+122<2−23,结论成立.假设当n=m(≥2)时结论成立,则我们有∏k=2m+1(1+1k2)=∏k=2m(1+1k2)⋅[1+1(m+1)2]<(2−2m+1)⋅[1+1(m+1)2]=2−2m+1+2(m+1)2−2(m+1)3=2−2m+2−(m+.可见当n=m+1时结论也成立.因此,加强后的不等式对任意n≥2成立.3．【2017年辽宁预赛】已知x+y=1,问:当实数x、y为何值时(x3+1)(y3+1)取得最大值.【答案】x=1±❑√52,y=1∓❑√52.【解析】设u=(x3+1)(y3+1)=(xy)3+(x+y)[(x+y)2−3xy]+1,由已知x+y=1可得u=(xy)3−3xy+2，令t=xy,则t=xy=x(1−x)=−x2+x≤14,故u=t3−3t+2,t≤14.由于u'=3t2−3,则当t←1时,u'>0;当−1<t≤14时,u'<0.因此,u在t=−1时取得最大值.即xy=−1,x+y=1.解得x=1±❑√52,y=1∓❑√52.4．【2017年山东预赛】实数x,y∈(1,+∞),且xy−2x−y+1=0,求32x2+y2的最小值.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】15【解析】因为xy−2x−y+1=0,所以y=1x−1+2,代入得32x2+y2=32x2+(1x−1+2)2,令f(x)=32x2+(1x−1+2)2,则f'(x)=3x+2(1x−1+2)[−1(x−1)2]=3x−4x−2(x−1)3=3x(x−1)3−(4x−2)(x−1)3=3[(x−2)+2][(x−2)+1]3−4(x−2)−6(x−1)3=(.令g(x)=3x3−3x2+3x−1,则g'(x)=9x2−6x+3⩾0,即y=g(x)在(1,+∞)上单调递增,又g(1)=6,所以g(x)>0在(1,+∞)上恒成立.所以y=f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以[f(x)]min=f(2)=15.5．【2017年福建预赛】设a1,a2、a3、a4、a5是5个正实数(可以相等).证明:一定存在4个互不相同的下标i,j,k,l,使得|aiaj−akal|<12.【答案】证明见解析【解析】不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5,考虑以下5个分数:a1a2,a3a4,a1a5,a2a3、a4a5.它们都属于区间¿.把区间¿分成两个区间：(0,12]和(12,1],由抽屉原理知,区间(0,12]或(12,1]中一定有一个区间至少包含(1)中的3个数(记这3个数依次为a,b,c¿.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将①中的5个数依次围成一个圆圈,则(1)中任意三个数中都有两个数是相邻的(a1a2与a4a5是相邻的¿.即a、b、c中至少有两个数是相邻的.假设a与b相邻,则|a−b|<12.另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.于是,a,b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.6．【2017年四川预赛】设α,β为实数,若对任意的实数x,y,z,有α(xy+yz+zx)≤M≤β(x2+y2+z2)恒成立,其中M=❑√x2+xy+y2⋅❑√y2+yz+z2+❑√y2+yz+z2⋅❑√z2+zx+x2+❑√z2+zx+x2⋅❑√x2+xy+y2.求α的最大值和β的最小值.【答案】α的最大值是3,β的最小值是3.【解析】取x=y=z=1，有3α⩽9⩽3β，则α⩽3,β⩾3.(1)解法一先...
