小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题26数列第二缉1．【2018年吉林预赛】在数列{an}中，若an2−an−12=p(n≥2,n∈N¿,p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列{(−1)n}是等方差数列；②若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N¿，k为常数）也是等方差数列；④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④【解析】①因为[(−1)n]2−[(−1)n−1]2=0，所以{(−1)n}符合“等方差数列”定义；②根据定义，显然{an2}是等差数列；③akn2−ak(n−1)2=akn2−akn−12+akn−12−akn−22+⋯+akn−k+12−ak(n−1)2=kp符合定义；④数列{an}满足an2−an−12=p，an−an−1=d（d为常数）.若d=0，显然{an}为常数列；若d≠0，则两式相除得an+an−1=pd，所以an=d2+p2d（常数），即{an}为常数列.故答案为：①②③④2．【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】本题采用分步计数原理.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有C61=6种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有C25=10种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有C43=4种方法；共计21种上楼梯的方法.3．【2018年浙江预赛】设数列{an❑}满足a1=1，an+1=5an+1(n=1，2，…），则∑n=12018an=¿________.【答案】5201916−807716【解析】由an+1=5an+1⇒an+1+14=5(an+14)⇒an=5n4−14，所以∑n=12018an=14(51+52+…+52018)−20184=516(52018−1)−20184=5201916−807716.4．【2018年江西预赛】正整数数列{an}满足an=3n+2，{bn}满足bn=5n+3，n∈N．在M={1,2,⋯,2018}中两数列的公共项的个数是______．【答案】135【解析】易知，2018是两个数列在M内最大的一个公共项，除去这个公共项外，用2018分别减去{an}、{bn}的其余各项，前者得到{an}，为{3,6,9,⋯,2016}，它们是M内所有3的倍数；后者得到{bn}，为{5,10,15,⋯,2015}，它们是M内所有5的倍数；显然，{an}、{bn}的公共项，一一对应于{an}、{bn}的公共项，而这种公共项是M中所有15的倍数，为[201815]=134．因此，所求公共项的个数是134+1=135个．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：1355．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设An是第n次挖去的小三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.【答案】❑√34[1−(34)n]【解析】原正三角形的面积为❑√34，而第k次一共挖去3k−1个小三角形，Ak=❑√316(34)k−1.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为∑k=1nAk=❑√316∑k=1n(34)k−1=❑√3161−(34)n1−34=❑√34[1−(34)n].故答案为：❑√34[1−(34)n]6．【2018年全国】设整数数列a1,a2,⋯,a10满足a10=3a1,a2+a8=2a5，且ai+1∈{1+ai,2+aj},i=1,2,⋯,9，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设b1=a1+1−a1∈{1,2}(i=1,2,⋯,9)，则有2a1=a10−a1=b1+b2+⋯+b9，①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷...