小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题06基本初等函数第二缉1．【2019年重庆预赛】函数f(x)=(❑√1+x+❑√1−x−3)(❑√1−x2+1)的最小值为m，最大值为M，则Mm=¿________.【答案】3−❑√22【解析】设t=❑√1+x+❑√1−x,则t≥0且t2=2+2❑√1−x2，∴t∈[❑√2,2].f(x)=(t−3)·t22，令g(t)=12t2(t−3)，t∈[❑√2,2].令g'(t)=0得t=2，g(❑√2)=❑√2−3，g(2)=−2，∴M=g(t)max=❑√2−3，m=g(t)min=−2，∴Mm=3−❑√22.2．【2019年重庆预赛】设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x>0有f(x)>−4x，f(f(x)+4x)=3，则f(8)=¿.【答案】72【解析】由题意存在x0>0使f(x0)=3。又因f(x)是(0,+∞)上的单调函数，这样的x0>0是唯一的，再由f(f(x0)+4x0)=3得x0=f(x0)+4x0=3+4x0解得x0=4或x0=−1（舍）。所以f(x)=4−4x，f(8)=4−48=72。3．【2019年北京预赛】函数f(x)满足f(1)=1,且f(n)=f(n−1)+1n(n−1),其中n≥2,n∈N+¿¿,那么f(2019)=.【答案】40372019.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】因为f(n)−f(n−1)=1n(n−1)=1n−1−1n,所以f(2)−f(1)=1−12,f(3)−f(2)=12−13,f(4)−f(3)=13−14,⋯⋯f(2018)−f(2017)=12017−12018,f(2019)−f(2018)=12018−12019,将以上各式等号两边分别相加得f(2019)−f(1)=1−12019,进而有f(2019)=2−12019=120182019.4．【2019年福建预赛】函数f(x)=❑√2x−x2+x的值域为.【答案】[0,❑√2+1]【解析】解法一:f(x)=❑√1−(x−1)2+x.设x−1=sinα(−π2≤α≤π2)，则f(x)=cosα+(1+sinα)=❑√2sin(α+π4)+1.由−π2≤α≤π2，得−π4≤α+π4≤3π4,−❑√22≤sin(α+π4)≤1.∴f(x)值域为[0,❑√2+1].解法二:f'(x)=2−2x2❑√2x−x2+1=1−x❑√2x−x2+1(0<x<2). 0<x<1+❑√22时，f'(x)>0;1+❑√22<x<2时，f'(x)<0.∴f(x)在区间[0,1+❑√22]上为增函数，在区间[1+❑√22,2]上为减函数.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴f(x)值域为[0,❑√2+1].5．【2019年福建预赛】已知f(x)=x3+ax2+bx+2的图象关于点(2，0)对称，则f(1)=.【答案】4【解析】解法一:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知：f(x+2)=(x+2)3+a(x+2)2+b(x+2)+2=x3+(a+6)x2+(b+4a+12)x+4a+2b+10为奇函数.∴¿∴f(1)=1+a+b+2=1−6+7+2=4.解法二:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知对任意x∈R，f(2+x)+f(2-x)=0于是，对任意x∈R，(2+x)3+a(2+x)2+b(2+x)+2+(2−x)3+a(2−x)2+b(2−x)+2=0.即(2a+12)x2+(8a+2b+20)=0恒成立.∴¿.∴f(1)=1+a+b+2=1−6+7+2=4.解法三:依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f(1)=-1-(-5)=4.6．【2019年福建预赛】已知f(x)=x5−10x3+ax2+bx+c，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为.【答案】4【解析】设f(x)=0的5个实根为x1≤x2≤x3≤x4≤m，则由韦达定理，得m+x1+x2+x3+x4=0.m(x1+x2+x3+x4)+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)=−10.于是，x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=−10+m2.∴x12+x22+x32+x42=(x1+x2+x3+x4)2−2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)¿m2−2(−10+m2)=20−m2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com另一方面，由柯西不等式，知(x1+x2+x3+x4)2≤4(x12+x22+x32+x42)于是，m2≤4(20−m2),m2≤16,m≤4.又对f(x)=(x−4)(x+1)4=x5−10x3−20x2−15x−4，方程f(x)=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m=4.∴m的最大值为4.7．【2019年广西预赛】已知xyz+y+z=12,则log4x+log2y+log2z的最大值为.【答案】3【解析】log4x+log2y+log2z¿log2x2+log2y+log2z=log2(xyz⋅y⋅z)2⩽log2(xyz+y+z3)32=3.当xyz=y=z=4取到等号.8．【2019...
