小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题23平面向量第二缉1．【2018年河北预赛】在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，动点P在边CD上.设∠PAB=α，∠PBA=β，则⃑PA⋅⃑PBcos(α+β)的最大值为________.【答案】-3【解析】因为⃑PA⋅⃑PBcos(α+β)=−|⃑PA|⋅|⃑PB|，所以问题转化为求|⃑PA|⋅|⃑PB|的最小值.由等面积法可得12|⃑PA|⋅|⃑PB|⋅sin∠APB=12×3×1.所以|⃑PA|⋅|⃑PB|=3sin∠APB.当∠APB=π2，即sin∠APB=1时，所求最大值为-3.2．【2018年浙江预赛】设|⃑AB|=10.若平面上点P满足，对于任意t∈R,有|⃑AP−t⃑AB|≥3，则⃑PA⋅⃑PB的最小值为________，此时⃑PA+⃑PB=¿________.【答案】−166【解析】由|⃑AP−t⃑AB|≥3可知点P到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等式得：⃑PA⋅⃑PB=14{(⃑PA+⃑PB)2−(⃑PA−⃑PB)2}=14{(2PO)2−102}≥14{36−100}=−16.此时|⃑PA+⃑PB|=6.3．【2018年全国】设O为△ABC的外心，若⃑AO=⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC的值为.【答案】❑√104【解析】不失一般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知，2⃑AC=⃑AO−⃑AB=⃑BO，①故AC=12BO=1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com取AC的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B与A位于直线OM的同侧.于是cos∠BOC=cos（90°+∠MOC）=-sin∠MOC=−MCOC=−14.在△BOC中，由余弦定理得BC=❑√OB2+OC2−2OB⋅OC⋅cos∠BOC=❑√10.进而在△ABC中，由正弦定理得sin∠BAC=BC2R=❑√104.4．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设O为△ABC的外心，若⃑AO=⃑AB+2⃑AC，则sin∠BAC的值为.【答案】❑√104【解析】不失一般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知，2⃑AC=⃑AO−⃑AB=⃑BO①故AC=12BO=1.取AC的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B与A位于直线OM的同侧.于是cos∠BOC=cos(90°+∠MOC)=−sin∠MOC=−MCOC=−14.在△BOC中，由余弦定理得BC=❑√OB2+OC2−2OB⋅OC⋅cos∠BOC=❑√10，进而在△ABC中，由正弦定理得sin∠BAC=BC2R=❑√104.5．【2017年辽宁预赛】在△ABC中,AB=❑√2,AC=❑√3,∠BAC=30∘,P是△ABC所在平面上任意一点,则μ=⃗PA⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC+⃗PC⋅⃗PA的最小值是.【答案】❑√22−53【解析】提示:依题意μ=⃗PA⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC+⃗PC⋅⃗PA=⃗PA⋅(⃗PA+⃗AB)+(⃗PA+⃗AB)⋅(⃗PA+⃗AC)+(⃗PA+⃗AC)⋅⃗PA=3⃗PA2+2(⃗AB+⃗AC)⋅⃗PA则μmin=−13(⃗AB+⃗AC)2+⃗AB⋅⃗AC=−13(⃗AB2+⃗AC2)+13⃗AB⋅⃗AC=❑√22−53.6．【2017年山东预赛】设I为△ABC的内心,且3⃗IA+4⃗IB+5⃗IC=⃗0,则角C的大小为.【答案】90∘小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】提示：设a、b、c分别为角A、B、C的对边,过I分别作△ABC三边的平行线,交点分别为D、N,E、M、F、G,因为I为△ABC的内心,则AN=AG=λ1,BD=BE=λ2,CF=CM=λ3.⃗AI=⃗AN+⃗AG=λ1(⃗ABc+⃗ACb)⃗BI=⃗BD+⃗BE=λ2(⃗BAc+⃗BCa)⃗CI=⃗CF+由此得⃗AIλ1+⃗BIλ2+⃗CIλ3⇒⃗0.因为MN/¿AC,则ANc=CMa,同理可得BDc=CFb,所以λ1λ3=ca,λ2λ3=cb,即1λ1:1λ2:1λ3=a:b:c,因此a⃗IA+b⃗IB+c⃗IC⃗0,由已知3⃗IA+4⃗IB+5⃗IC=⃗0得△ABC三边之比为a:b:c=3:4:5,即∠C=90∘.7．【2017年湖北预赛】已知O为△ABC的外心,D为BC的中点,若⃗AO⋅⃗AD=4,BC=2❑√6,则AD=¿.【答案】❑√2小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】提示：由外心及中点的性质,得4=⃗AO⋅⃗AD=12⃗AO⋅(⃗AB+⃗AC)=14(⃗AB2+⃗AC2),即b2+c2=16.所以⃗AD2=14(⃗AB+⃗AC)2=14(⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB⋅⃗AC)=14(c2+b2+2bc⋅b2+c2−a22bc)=14[2(b2+c2)−a2]=14(2×16−24故AD=❑√2.8．【2017年甘肃预赛】已知⃗a=(λ+2,λ2−cos2α),⃗...