小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题36不等式第五缉1．【2021年吉林预赛】设m>0.若对于满足abc≤14且1a2+1b2+1c2<m的任意一组正数a,b,c,均存在以a,b,c为三边长的三角形，求实数m的最大值，说明理由.【答案】答案见解析【解析】由(x2+y)(x+y)=0得y=−x2或y=−x，(1)联立¿得x2+kx+116=0(¿)由Δ=k2−4×116>0,解得k>12或k←12因为¿有唯一解，得k≠−1.又直线l:y=kx+b与曲线C交于三个不同的点,所以x=1不足方程(¿)的解，即k≠−1716，所以k的取值范围是(−∞,−1716)∪(−1716,−1)∪(−1,−12)∪(12,+∞).(2)情形1(如图):联立¿得x2+kx+1=0.设A(x1,y1),C(x2,y2)，则¿，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设AC的中点为B(xB,yB),则xB=x1+x22=−k2,yB=kxB+1=−k22+1.又点B(−k2,−k22+1)在直线y=−x上,从而−k22+1=−(−k2).所以k=1或-2，不满足Δ>0，舍去.情形2(如界2):设A(m,−m2),B(n,−n2)(m≠n)则直线AB的方程为y=−(m+n)x+mn.又直线AB即为直线l:y=kx+1.从而k=−(m+n),mn=1.由B为线段AC的中点，得C(2n−m,−2n2+m2). 点C在直线y=−x上，得−2n2+m2=−2n+m.联立¿解衍¿(受委屈)或¿∴k=3√2+13√2综上，k的值为3√2+13√2.2．【2021年重庆预赛】设自然数n≥3,实数x1,x2,⋯,xn满足x1+x2+⋯+xn=n,x12+x22+⋯+xn2=n2,求∑xi3最小值及取最小值时的(x1,x2,⋯,xn).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】答案见解析【解析】由柯西不等式：(n−1)(x22+x32+⋯+xn2)≥(x2+x3+⋯+xn)2，化简得：(n−1)(n2−x12)≥(n−x1)2，解得：2−n≤x1≤n构造局部不等式(x1+n−2)(x1−2)2≥0，展开得x13≥(6−n)x12+(4n−12)x1+8−4n，同理有其它n−1式，相加得：S=x13+x23+⋯+xn3≥(6−n)n2+(4n−12)n+n(8−4n)=−n3+6n2−4n，要使S取最小值，xi=2−n或2,i=1,2,⋯,n.若全为2,其和为2n,不符合题意；若有两个以上为2−n,其和小于n，不合题意；当且仅当有且只有一个为2−n,即(x1,x2,⋯,xn)=(2−n,2,⋯,2)及其置换时，S取得最小值.3．【2021年浙江预赛】设x,y,z>0,❑√x+❑√y+❑√z=1,证明x4+y2z2x52(y+z)+y4+z2x2y52(z+x)+z4+y2x2z52(y+x)≥1.【答案】证明见解析【解析】等价于x+y+z=1,证:∑x8+y4z4x5(y2+z2)≥1,由三元均值不等式有∑x8+y4z4x5(y2+z2)≥33√∏(x8+y4z4)(xyz)5∏(x2+y2),由柯西不等式有∏(x8+y4z4)(xyz)6=∏❑√(x6y2z2+y2z2x2)(x2z2y2+y6x2z2¿)≥∏(x4y2+y4x2)¿,所以有∏(x8+y4z4)(xyz)5≥∏(x6+y6)(xyz)3小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则可知∑x8+y4z4x5(y2+z2)≥33√∏(x8+y4z4)(xyz)3∏(x2+y2)由柯西不等式有∏(x6+y6)∏(x2+y2)≥∏(x4+y4)8≥∑x4∑x4y49≥(xyz)83∑x43则有∑x8+y4z4x5(y2+z2)≥33√∑x433√xyz≥33√∑x4≥14．【2021年上海预赛】已知正实数a,b满足a(a+b)=27,求a2b的最大值.【答案】54【解析】解法1:由题设及平均不等式：27=a(a+b)=a(a+b2+b2)≥a⋅33√a⋅b2⋅b2，所以93≥a3⋅a⋅b24，当a=3,b=6时等号成立.故a2b的最大值为54.解法2:由题设得b=27a−a,a2b=27a−a3=a¿所以a2b=27a−a3=a(27−a2)=❑√12⋅2a2(27−a2)(27−a2)≤❑√12⋅(2a2+(27−a2)+(27−a2)3)3当a=3,b=6时等号成立.故a2b的最大值为54.解法3:由题设得b=27a−a，所以a2b=27a−a3=a(27−a2).令f(a)=a(27−a2),则f'(a)=27−3a2,故f'(3)=0.当a∈(0,3)时,f'(a)>0,当a∈(3,+∞)时，f'(a)<0,故f(a)在(0,3)上是递增的，在(3,+∞)上是递减的，故f(a)在a=3时取到最大值.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，a2b的最大值为f(...
