小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题29数列第五缉1．【2021年江西预赛】正整数数列{an}满足a1=a2=a3=1,叱的任何连续四个项an,an+1,an+2,an+3都满足:anan+3−an+1an+2=1.证明:对于它的任意三个连续项an,an+1,an+2而言.其首尾两项之和an+an+2必是中间一项an+1的倍数.【答案】证明见解析【解析】证明:据条件易得,数列{an}开始的一此项为:1,1,1,2,3,7,11,26,41,97,⋯⋯,据此猜想:a2n−1+¿a2n+1=2a2n(1);a2n+a2n+2=3a2n+1(2)，对n归纳,奠基是显然的,设(1)，(2)两式对于n成立,考虑n+1的情形:据所给条件式,对所有的正整数k,都有ak+3=ak+1ak+2+1ak(3),则a2n+3=a2n+1a2n+2+1a2n=¿(2a2n−a2n−1)a2n+2+1a2n=¿¿2a2n+2+−a2n+2a2n−1+(a2n+2a2n−1−a2n+1a2n)a2n=2a2n+2+−a2n+1a2na2n=¿2a2n+2−a2n+1,即a2n+1+a2n+3=2a2n+2.而a2n+4=a2n+2a2n+3+1a2n+1=(3a2n+1−a2n)a2n+3+(a2na2n+3−a2n+1a2n+2)a2n+1=3a2n+3−a2n+2，即a2n+2+¿a2n+4=3a2n+3.从而,(1)，(2)两式对于n+1也成立,命题得证.2．【2021年福建预赛】已知数列{an},{bn}满足a1=3,an+1=2an+2n+1−1,bn=an−12n(n∈N¿).(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设cn=(−1)nbn,Tn是数列{cn}的前n项的和，求证:T2n>−❑√22.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)bn=n；(2)证明见解析.【解析】(1)由bn=an−12n,得an=2nbn+1,an+1=2n+1bn+1+1,代入an+1=2an+2n+1−1,得2n+1bn+1+1=2(2nbn+1)+2n+1−1.所以，bn+1−bn=1,数列{bn+1−bn}为等差数列.又b1=a1−12=1，所以,bn=1+1×(n−1)=n.(2)由（1）知,cn=(−1)nbn=(−1)nn.所以：T2n=−1+12−13+14−⋯−12n−1+12n¿−(1+12+13+14+⋯+12n)+2(12+14+16+18+⋯+12n)¿−(1+12+13+14+⋯+12n)+2⋅12(1+12+13+14+⋯+1n)¿−(1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n)由柯西不等式知：(1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n)2≤(12+12+12+⋯+12)[1(n+1)2+1(n+2)2+1(n+3)2+⋯+1(2n)2]¿n⋅[1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)+⋯+1(2n−1)(2n)]¿n⋅(1n12n)=12小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n<❑√22.所以,T2n>−❑√22.3．【2021年福建预赛】设数列{an}是正整数数列，满足:a1=a,an+1=an+(n+1,an),n=1,2,3,⋯.（1）证明:当a=3时，存在唯一一个正整数k,使得ak=2k;(2)若a>3,试探究满足ak=2k的正整数k的存在性及其个数，并证明你的结论.注:这里(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】证明：(1)当a=3时，由a1=3,知a2=a1+(2,a1)=3+(2,3)=4,a3=a2+(3,a2)=4+(3,4)=5.若ak=k+2(k≥3),则ak+1=ak+(k+1,ak)=k+2+(k+1,k+2)=k+3.所以，当k=2,3,4,⋯,时总有ak=k+2.又当k≥3时,2k>k+2=ak,所以，只有k=2,满足ak=2k.所以，当a=3时，存在唯一一个正整数k=2，使得ak=2k.(2)当a>3时,a1≥4.若a1=4,则a2=a1+(2,a1)=4+(2,4)=4+2=6.若a1≥5,则a2=a1+(2,a1)≥5+(2,a1)≥6.所以，若存在正整数k,使得ak=2k,则k≥3.我们断言当a>3时，不存在正整数k,使得ak=2k.反证法:假设存在正整数k,使得ak=2k,记m=min¿,则m≥3.以下先证明一个引理：当1≤n≤m−1时，总有an>2n.由前面讨论可知,a1>2,a2>4,若an−1>2(n−1)(2≤n<m−1),则an=an−1+(n,an−1)>2(n−1)+1=2n−1,因此，an≥2n.结合m的最小性，可知an≠2n,因此，an>2n.下面推出矛盾:小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com易见{an}为卢格单调递增的正整数数列，因为am=2m,所以，am−1≤2m−1.又由引理知am−1>2(m−1),故am−1=2m−1.注意到m≥3,则可类似地由单调性和引理可得am−2=2m−3或am−2=2m−2.若am−2=2m−3,则：am−1=am−2+(m−1,am−2)=2m−3+(m−1,2m−3)=2m−3+(m−1,m−2)=2m−3+1=2m−2，...