小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题21高斯函数1．【2019年内蒙古预赛】方程x2−8[x]+7=0的解为.【答案】(4−❑√17,1]∪[7,4+❑√17)【解析】 x≤[x]=x2+78<x+1，故方程解集为(4−❑√17,1]∪[7,4+❑√17).2．【2019年新疆预赛】记[x]为不超过实数x的最大整数｡若A=[78]+[728]+⋯+[720198]+[720208]，则A除以50的余数为.【答案】40【解析】注意到72k−18,72k8均不是整数，按定义72k−1−2=(72k−18−1)+(72k8−1)<[72k−18]+[72k8]<72k−18+72k8=72k−1，所以对任意正整数k均有[72k−18]+[72k8]=72k−1−1=7⋅72k−2−1¿7⋅(49)k−1−1=7⋅(50−1)k−1−1≡7⋅(−1)k−1−1(mod50).从而A≡7⋅1010⋅(1−1)−1010≡40(mod50).3．【2018年山东预赛】函数f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+cosx]的值域为______．（其中[x]表示不超过实数x的最大整数）．【答案】{−2,−1,1,2}【解析】因为f(x+2π)=f(x)且f(π2−x)=f(x)，所以f(x)以2π为周期，且图象关于直线x=π4对称．所以只需讨论x∈[π4,5π4]时，f(x)的取值即可．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com易得，当x=π4时，f(x)取得最大值2；当x∈(3π4,π)∪(π,5π4)时，f(x)取得最小值−2，所以f(x)的值域为{−2,−1,1,2}．4．【2018年天津预赛】对于实数α，用[α]表示不超过α的最大整数，例如[3]=3，[❑√2]=1，[−π]=−4，设x为正实数，若[log2x]为偶数，则称x为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为__________【答案】13【解析】注意当x∈(0,1)时，log2x<0；因此[log2x]为偶数当且仅当log2x∈[−2,−1)∪[−4,−3)∪[−6,−5)∪⋯，也即x∈[2−2,2−1)∪[2−4,2−3)∪[2−6,2−5)∪⋯这些区间的长度之和为122+124+126+⋯=14⋅11−14=13.因此，x是幸运数的概率为13.故答案为：135．【2018年河北预赛】规定：对任意x∈R，当且仅当n⩽x<n+1(n∈N¿)时，[x]=n，则4[x]2−28[x]+45⩽0的解集为__________.【答案】¿【解析】由已知得52⩽[x]⩽92，那么3⩽[x]⩽4，所以3⩽x<5，故所求解集为¿.6．【2016年安徽预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.则集合{[x]+[2x]+[3x]x¿共有________个元素.【答案】67小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】设f(x)=[x]+[2x]+[3x].则f(x+1)=f(x)+6.当0≤x<1时，f(x)的所有可能值为0、1、2、3.因此，f(x)的值域为S={6k,6k+1,6k+2,6k+3¿.故S∩{1,2,⋯,100}共有4×17−1=67个元素.7．【2016年湖北预赛】记[a]表示不超过实数a的最大整数.则方程[x7]=[x8]+1的最大正整数解为_____.【答案】104【解析】设x=8j+h(j∈Z,h∈{0,1,⋯,7}).代入题给方程得[8j+h7]=[8j+h8]+1⇒j+[j+h7]=j+1⇒[j+h7]=1⇒j+h=7+r(r∈{0,1,⋯,6})⇒x=8j+h=8(7+r−h)+h=当r=6，h=0时，x的值最大．综上，原方程的最大正整数解为56+8×6−0=104.8．【2016年北京预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设A=[78]+[728]+⋯+[720168].则A除以50的余数为__________.【答案】42【解析】因为72k−18、72k8均不是整数，且72k−18+72k8=72k−1，所以，对于任意的k∈Z+¿¿，均有[72k−18]+[72k8]=72k−1−1≡7(−1)k−1−1(mod50).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则A≡(1−1+1−1+⋯+1−1)−1008≡42(mod50).9．【2019年北京预赛】设[x]表示不超过x的最大整数,则方程2x−2[x]−1=0的根的个数是(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.【答案】B【解析】因为方程2x−2[x]−1=0的根的个数等价于函数y=2x−1的图象与函数y=2[x]的图象的交点个数.在同一个平面直角坐标系中,分别画出函数y=2x−1的图象与函数y=2[x]的图象,如右图,两函数的图象共有3个交点,所以方程2x−2[x]−1=0有3个根.10．...