小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题24平面向量第三缉1．【2020年吉林预赛】已知向量⃗OA=(2,1),⃗OB=(−1,2),⃗OC=m⃗OA+n⃗OB(m,n>0).若m+2n=1,则¿⃗OC∨¿的最小值为()A.54B.12C.1D.❑√52【答案】C【解析】由已知得⃗OC=m⃗OA+n⃗OB=(2m−n,m+2n).则¿⃗OC∨¿❑√(2m−n)2+(m+2n)2¿❑√5(m2+n2).因为m+2n=1,所以,由柯西不等式得(m2+n2)(1+22)⩾(m+2n)2=1，当m1=n2,即m=15,n=25时,上式等号成立.故¿⃗OC∨¿的最小值为1.2．【2019年吉林预赛】正方形ABCD中,M是BC的中点,若⃑AC=λ⃑AM+μ⃑BD,则λ+μ=¿()A.43B.53C.158D.2【答案】B【解析】⃑AC=λ⃑AM+μ⃑BD=λ(⃑AB+⃑BM)+μ(⃑BA+⃑AD)¿λ(⃑AB+12⃑AD)+μ(−⃑AB+⃑AD)¿(λ−μ)⃑AB+(12λ+μ)⃑AD.且⃑AC=⃑AB+⃑AD，故λ−μ=1，12λ+μ=1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com据此可得¿，故λ+μ=53.3．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6个不同的点P，使⃑PM⋅⃑PN=m，则实数m的取值范围是（）A．(−8,8)B．(−1,24)C．(−1,8)D．(0,8)【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由题意得：⃑PM⋅⃑PN=(8−x,4−y)⋅(−x,2−y)=x2−8x+y2−6y+8=m⇔(x−4)2+(y−3)2=m+17.即以(4,3)为圆心，❑√m+17为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知4<❑√m+17<5⇒m∈(−1,0).4．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6个不同的点P，使⃑PM⋅⃑PN=m，则实数m的取值范围是（）A．(−8,8)B．(−1,24)C．(−1,8)D．(0,8)【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由题意得：⃑PM⋅⃑PN=(8−x,4−y)⋅(−x,2−y)=x2−8x+y2−6y+8=m⇔(x−4)2+(y−3)2=m+17.即以(4,3)为圆心，❑√m+17为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知4<❑√m+17<5⇒m∈(−1,0).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的标上恰有6个不同的点P，使⃑PM⋅⃑PN=m，则实数m的取值范围是（）A．(−8,8)B．(−1,24)C．(−1,8)D．(0,8)【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由题意得：⃑PM⋅⃑PN=(8−x,4−y)⋅(−x,2−y)=x2−8x+y2−6y+8=m⇔(x−4)2+(y−3)2=m+17.即以(4,3)为圆心，❑√m+17为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知4<❑√m+17<5⇒m∈(−1,0).6．【2018年辽宁预赛】已知点P、Q在△ABC内，且⃑PA+2⃑PB+3⃑PC=2⃑QA+3⃑PB+5⃑PC=⃑0，则|⃑PQ||⃑AB|等于（）.A．130B．131C．132D．133【答案】A【解析】由题设知S△BCP:s△CAP:s△ABP=1:2:3，S△BCQ:S△CAQ:S△ABQ=2:3:5，故s△ABP=S△ABQ=S△ABC2，所以PQ/¿AB.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又S△BCP=S△ABC6,S△BCQ=S△ABC5，故¿⃑PQ∨¿¿⃑AB∨¿=15−16=130¿¿.故答案为：A7．【2016年陕西预赛】设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（）.A．1+❑√2B．1-❑√2C．❑√2-1D．1【答案】A【解析】由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=❑√2.设向量c与a+b的夹角为θ.则(c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1-❑√2cosθ≤1+❑√2，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+❑√2.选A.8．【2016年浙江预赛】已知向量⃑OA⊥⃑OB...