小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题29数列第五缉1．【2021年江西预赛】正整数数列{an}满足a1=a2=a3=1,叱的任何连续四个项an,an+1,an+2,an+3都满足:anan+3−an+1an+2=1.证明:对于它的任意三个连续项an,an+1,an+2而言.其首尾两项之和an+an+2必是中间一项an+1的倍数.2．【2021年福建预赛】已知数列{an},{bn}满足a1=3,an+1=2an+2n+1−1,bn=an−12n(n∈N¿).(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设cn=(−1)nbn,Tn是数列{cn}的前n项的和，求证:T2n>−❑√22.3．【2021年福建预赛】设数列{an}是正整数数列，满足:a1=a,an+1=an+(n+1,an),n=1,2,3,⋯.（1）证明:当a=3时，存在唯一一个正整数k,使得ak=2k;(2)若a>3,试探究满足ak=2k的正整数k的存在性及其个数，并证明你的结论.注:这里(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.4．【2021年重庆预赛】数列{an}的相邻两项an和an+1为二次方程x2−3nx+cn=0(n=1,2,3,⋯)的两个根，当a1=1时，求cn.5．【2021年四川预赛】给定正整数a,b,其中a<b.数列{Fn}满足:F1=a,F2=b,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N¿),若不存在无穷多个正整数k,使得1+mFkFk+2为完全平方数，则称m具有性质P.求证:存在无分多个正整数m具有性质P.6．【2021年四川预赛】求最大的正整数n，使得对满足∏i=1nai=1的任意正实数a1,a2,⋯,an,均有小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∑i=1naiai+1+∑i=1nai+1ai≥2∑i=1nai恒成立，其中an+1=a1.7．【2021年浙江预赛】设n为给定的正整数，a1,a2,⋯,an为满足对每个m≤n都有|∑k=1makk|≤1的一列实数，求|∑k=1nak|的最大值.8．【2021年浙江预赛】设数集P={a1,a2,⋯,am},它的平均数Cp=a1+a2+⋯+amm,现将S={1,2,⋯,n}分成两个非空且不相交子集A,B,求|CA−CB|的最大值,并讨论取到最大值时不同的有序数对(A,B)的数目.9．【2021年全国高中数学联赛A卷二试】给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak，证明：至多有有限个k元正整数组(n1,n2,⋯,nk),满足n1,n2,⋯,nk互不相同,且a1⋅n1!+a2⋅n2!+⋯+ak⋅nk!=0.10．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】数列{an}满足:a1=a2=a3=1，令bn=an+an+1+an+2(n∈N¿).若{bn}是公比为3的等比数列,求a100的值.11．【2021年全国高中数学联赛B卷二试】设a为正整数.数列{an}满足:a1=a,an+1=an2+20,n=1,2,⋯.(1)证明:存在一个非立方数的正整数a,使得数列{an}中有一项为立方数.(2)证明：数列{an}中至多有一项为立方数.12．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定整数n≥3.设a1,a2,⋯a2n,b,b2,⋯,b2n是4n个非负实数,满足a1+a2+⋯+a2n=b1+b2+⋯+b2n>0,且对任意i=1,2,⋯,2n,有aiai+2≥bi+bi+1(这里a2n+1=a1,a2n+2=a2,a2n+1=b1)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com求a1+a2+⋯+a2n的最小值.13．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】设a1=1,a2=2,an=2an−1+an−2,n=3,4,⋯.证明:对整数n≥5,an必有一个模4余1的素因子.14．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{an}的通项公式为an=1❑√5[(1+❑√52)n−(1−❑√52)n],n=1,2,⋯.证明:存在无穷多个正整数m,使得am+4am−1是完全平方数.15．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】给定整数n≥2.设a1,a2,⋯an,b1,b2,⋯,bn>0,满足a1+a2+⋯+an=b1+b2+⋯+bn,且对任意i,j(1≤i<j≤n),均有aiaj≥bi+bj.求a1+a2+⋯+an的最小值.16．【2020年福建预赛】已知数列{an}满足:a1=1,a2=5,an+2=4an+1−3an¿(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3nanan+1,Tn是数列{bn}的前n项的和,证明:Tn<34.17．【2020年甘肃预赛】已知数列{an}:a1=a2=5,an+1=an+6an−1¿证明:(1){an−3an−1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)1a1+1a2+⋯+1an<12.18．【2020年吉林预赛】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2❑√Sn¿(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+2anan+12n,数列bn的前n项和为Tn,证明:56⩽Tn<¿1....
