小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题04集合第四缉1．【2021年吉林预赛】平面直例坐标系内有10个不|同点P1(x1,y1),P2(x2,y2),⋯,P10(x10,y10)，若xi=xj或yi=yj,则称Pi与Pj为一个“同标点对”(不考虑Pi与Pj的次序).若10个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过m个：无论何种棒况，都可以塔好将它们分成5个点对，钱个点对都不是“同标点对”.求m的最大值.【答案】4【解析】16.解:若已知的10个不同点为P1(1,1),P2(1,2),P3(1,3),P4(1,4),P5(1,5),P6(1,6),P7(2,2),P8(2,3),P9(2,4),P10(2,5),考虑到P1(1,1),P2(1,2),P3(1,3),P4(1,4),P5(1,5),P6(1,6)两两构成“同标点对”,所以不能将以上10个不同点恰好分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”.所以m≤4.下面证明：若10个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过4个，则无论何种情况，都可以恰好将它们分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”.先将10个点随意分为5对、设为{Q1,R1},{Q2,R2},{Q3,R3}{Q4,R4},{Q5,R5}.若Qi与Ri(i=1,2,3,4,5)均不构成“同标点对”，只需按上述分法即可.若存在某对的两个点构成“同标点对”，如Q1，R1构成“同标点对”，考虑如下的调整方法：方法1:将{Q1,R1},{Q2,R2}换为{Q1,Q2},{R1,R2},共余组不变:方法2:将{Q1,R1},{Q2,R2}换为{Q1,R2},{R1,Q2},其余组不变;方法3:将{Q1,R1},{Q3,R3}换为{Q1,Q3},{R1,R3},其余组不变;方法4:将{Q1,R1},{Q3,R3}换为{Q1,R3},{R1,Q3},其余组不变；方法5:将{Q1,R1},{Q4,R4}换为{Q1,Q4},{R1,R4},其余组不变；方法6:将{Q1,R1},{Q4,R4}换为{Q1,R4},{R1,Q4},其余组不变。小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方法7:将{Q1,R1},{Q5,R5}换为{Q1,Q5},{R1,R5},其余组不变;方法8:将{Q1,R1},{Q5,R5}换为{Q1,R5},{R1,Q5},其余组不变.由于Q1,R1除了R1,Q1外，至多各还有3个点与之构成“同标点对”，故上述8种方法中必存在一种方法，使得调整后的两个点对均不构成“同标点对”。按上述方法进行一次调整，这样至少减少了一个构成“同标点对”的点对。如果按上述方法进行一次调整后，还有构成“同标点对”的点对，再考虑类似的8种方法进行调整。这样随着不断调整，构成“同标点对”的点对必将逐渐减少。最终，经过有限次调整，一定能分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”.综上,m的最大值为4.2．【2021年全国高中数学联赛A卷二试】求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4，以及集合A⊆{1,2,⋯,n},若|A|>cn,则存在函数f:A→{1,−1},满足¿∑a∈A❑f(a)⋅a∨≤1.【答案】答案见解析【解析】所求最小的c=23.首先,当n=6,A={1,4,5,6}时,不存在满足要求的f¿因为A的元素和为16,且A不能划分为两个元素和均为8的子集的并).此时|A|=23n,故c<23不具有题述性质.下面证明c=23符合要求,即当|A|>23n时，存在满足要求的f.引理:设x1,x2,⋯,xm是正整数,总和为s,且s<2m,则对任意整数x∈[0,s],存在指标集I⊆{1,2,⋯,m},满足∑t∈I❑xi=x(对空指标集求和认为是零).引理的证明：对m归纳证明.m=1时,只能x1=s=1,结论显然成立.假设m>1,且结论在m−1时成立.不妨设x1≤x2≤⋯≤xm,则x1+x2+⋯+xm−1≤m−1m⋅(x1+x2+⋯+xm)<m−1m⋅2m=2(m−1)①又由于x1+x2+⋯+xm−1≥m−1,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因此xm≤m≤1+x1+x2+⋯+xm−1②对任意整数x∈[0,s],若x≤x1+x2+⋯+xm−1,由①及归纳假设知存在指标集I⊆{1,⋯,m−1},使得∑i∈I❑xi=x.若x≥1+x1+x2+⋯+xm−1,则对x−xm用归纳假设(由②知x−xm≥0),存在指标集I⊆{1,⋯,m−1},使得∑i∈I❑xi=x−xm.此时指标集I'=I∪{m}⊆{1,2,⋯,m}满足∑i∈l'❑xi=x.引理获证.回到原问题.注意到n≥4,分两种情形讨论.(1)|A|为偶数,设|A|=2m.将A中元素从小到大依次记为a1<b1<a2<b2<⋯<am<bm.令xi=bi−ai>0,1≤i≤m,则s=∑i=1mxi...
