小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题46平面解析几何第六缉1．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若|FA|=3，|FB|=2，求AB的所有可能值.【答案】答案见解析【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，并记c=❑√a2−b2.由对称性，可设F为Γ的右焦点.易知F到Γ的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a－c，到上下顶点的距离均为a.分以下情况讨论:(1)A、B分别为左、右顶点.此时a+c=3，a－c=2，故|AB|=2a=5(相应地，b2=(a+c)(a－c)=6，Γ的方程为4x225+y26=1).(2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点.此时a+c=3，a=2，故c=1，进而b2=a2−c2=3，所以¿AB∨¿❑√a2+b2=❑√7(相应Γ的方程为x24+y23=1).(3)A为上顶点或下顶点，B为右顶点.此时a=3，a－c=2，故c=1，进而b2=a2−c2=8，所以¿AB∨¿❑√a2+b2=❑√17(相应Γ的方程为x29+y28=1).综上可知，|AB|的所有可能值为5,❑√7,❑√17.2．【2018年福建预赛】已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+❑√3y－4=0，l3：x－❑√3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足|PC|2=|PA|⋅|PB|.记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范围.【答案】（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com|a+2|=|a+❑√3b−4|2=|a−❑√3b−4|2=r，结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+❑√3b−4)2=−(a−❑√3b−4)2=r.解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴.因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2，a=0.∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4. |PC|2=|PA||PB|，∴x2+y2=❑√(x+2)2+y2⋅❑√(x−2)2+y2，化简得，x2－y2=2.∴k1k2=yx+2⋅yx−2=y2x2−4=x2−2x2−4=1+2x2−4.由x2+y2<4，以及x2－y2=2，y2≥0，得2≤x2<3.∴k1k2∈(－1，0].∴k1k2的取值范围为(－1，0].小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．【2018年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于点A，B，与x轴交于点Q，设⃗QA=λ⃗PA，⃗QB=μ⃗PB，求证：λ+μ为定值。【答案】见解析【解析】当ABx轴垂直时，此时点Q与点O重合，从而λ=2，μ=23，λ+μ=83.当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在，设AB:y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Q(−1k,0).由题设得：x1+1k=λx1，x2+1k=μx2，即λ+μ=1+1kx1+1+1kx2=2+x1+x2kx1x2，将y=kx+1代入x2+y2=4，得(1+k2)x2+2kx−3=0，则Δ>0，x1+x2=−2k1+k2，x1x2=−31+k2.所以λ+μ=2+−2k−3k=83.综上，λ+μ为定值83.4．【2018年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，ΔABD与ΔABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC，BD交于点M，N，求证：PM=PN.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】见解析【解析】因为I1，I2分别为ΔABD与ΔABC的内心，所以∠I1AB=12∠DAB，∠I1BA=12∠DBA，∠I2AB=12∠CAB，∠I2BA=12∠CBA，故∠AI1B=180°−12(∠DAB+∠DBA)，∠AI2B=180°−12(∠CAB+∠CBA).在ΔABD与ΔABC中，∠ADB=∠ACB，所以∠DAB+∠DBA=∠CAB+∠CBA，从而∠AI1B=∠AI2B，故A，I1，I2，B四点共圆因此∠I1I2A=∠I1BA=12∠DBA，则∠PMN=∠MAI2+∠MI2A=12(∠CAB+∠DBA).同理，∠PNM=12(∠C...