小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题30数列第六缉1．【2018年广西预赛】设an=2n，n∈N¿，数列{bn}满足b1an+b2an−1+⋯+bna1=2n−n2−1，求数列{an⋅bn}的前n项和.【答案】(n−1)⋅2n+12【解析】由a1=2及b1a1=2−12−1，可得b1=14.当n≥2时，由已知条件有¿①式两边同时乘以2，可得b1⋅2n+b2⋅2n−1+⋯+bn−1⋅22=2n−n−1③由②③可求得，bn=n4.于是，an⋅bn=n4⋅2n.令Tn=∑k=1nak⋅bk，则有¿.因此，Tn=14(n⋅2n+1−∑k=1n2k)=(n−1)⋅2n+12.2．【2018年广西预赛】设a1,a2,⋯,an为非负数，求证：❑√a1+a2+⋯+an+❑√a2+a3+⋯+an+❑√a3+⋯+an+⋯+❑√an≥❑√a1+4a2+9a3+⋯+n2an.【答案】见解析【解析】当n=1时，结论显然成立.假设当n=k时，结论对于任意k个非负数成立.则当n=k+1时，对于任意k+1个非负数a1,a2,⋯,ak,ak+1，根据归纳假设有❑√a2+a3+⋯+ak+1+❑√a3+⋯+ak+1+⋯+❑√ak+1≥❑√a2+4a3+9a4+⋯+k2ak+1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com从而❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+a3+⋯+ak+1+⋯+❑√ak+1≥❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+9a4+⋯+k2ak+1.下面证明❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1≥❑√a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1①由柯西不等式可得[(❑√a2)2+(❑√a3)2+⋯+(❑√ak+1)2]⋅[(❑√a2)2+(2❑√a3)2+⋯+(k❑√ak+1)2]≥(❑√a2⋅❑√a2+❑√a3⋅2❑√a3+❑√a4⋅3❑√a4+⋯+❑√ak.即(a2+⋯+ak+1)⋅(a2+4a3+⋯+k2ak+1)≥(a2+2a3+3a4+⋯+kak+1)2.于是有❑√(a1+a2+⋯+ak+1)⋅(a2+4a3+⋯+k2ak+1)≥(a2+2a3+3a4+⋯+kak+1).故(❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1)2≥a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1.从而❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1≥❑√a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1.即①式成立.由数学归纳法可知，对任意的非负实数a1,a2,⋯,an结论均成立.3．【2018年甘肃预赛】设等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+1（n∈N¿）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，设数列{1dn}的前n项和为Tn，求证：Tn<158．【答案】（1）an=3n−1（2）见解析【解析】（1）由¿两式相减得an+1−an=2(Sn−Sn−1)=2an，所以an+1=3an（n≥2）．因为{an}等比，且a2=2a1+1，所以3a1=2a1+1，所以a1=1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故an=3n−1．（2）由题设得an+1=an+(n+1)dn，所以1dn=n+1an+1−an=n+12⋅3n−1，所以2Tn=2+33+432+⋅⋅⋅+n+13n−1，则23Tn=23+332+⋅⋅⋅+n3n−1+n+13n¿2+13(1−13n−1)1−13−n+13n，所以Tn=158−2n+58⋅3n−1<158．4．【2018年吉林预赛】数列{an}为等差数列，且满足3a5=8a12>0，数列{bn}满足bn=an⋅an+1⋅an+2(n∈N¿)，{bn}的前n项和记为Sn.问：当n为何值时，Sn取得最大值，说明理由.【答案】16【解析】因为3a5+8a12>0，所以3a5=8(a5+7d).解得a5=−565d>0.所以d＜0，a1=−765d.故{an}是首项为正数的递减数列.由¿，即¿，解得1515≤n≤1615.即a16>0，a17<0，所以a1>a2>a3>⋯>a16>0>a17>a18>⋯，所以b1>b2>b3>⋯>b14>0>b17>b18>⋯，而b15=a15a16a17<0，b16=a16a17a18>0.故S14>S13>⋯>S1，S14>S15，S15<S16，S16>S17>S18>⋯，又S16−S14=b15+b16=a16a17(a15+a18)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com¿a16a17(−65d+95d)=35da16a17>0所以Sn中S16最大，即n=16时，Sn取得最大值.5．【2018年河南预赛】在数列{an}中，a1、a2是给定的非零整数，an+2=|an+1−an|．（1）若a16=4，a17=1，求a2018；（2）证明：从{an}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项．【答案】（1）1（2）见解析【解析】（1）因a16=4，a17=1，a18=3，a19=2，a20=1，a21=1...