专题30数列第六缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021).docx本文件免费下载 【共38页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题30数列第六缉1.【2018年广西预赛】设an=2n,n∈N¿,数列{bn}满足b1an+b2an−1+⋯+bna1=2n−n2−1,求数列{an⋅bn}的前n项和.【答案】(n−1)⋅2n+12【解析】由a1=2及b1a1=2−12−1,可得b1=14.当n≥2时,由已知条件有¿①式两边同时乘以2,可得b1⋅2n+b2⋅2n−1+⋯+bn−1⋅22=2n−n−1③由②③可求得,bn=n4.于是,an⋅bn=n4⋅2n.令Tn=∑k=1nak⋅bk,则有¿.因此,Tn=14(n⋅2n+1−∑k=1n2k)=(n−1)⋅2n+12.2.【2018年广西预赛】设a1,a2,⋯,an为非负数,求证:❑√a1+a2+⋯+an+❑√a2+a3+⋯+an+❑√a3+⋯+an+⋯+❑√an≥❑√a1+4a2+9a3+⋯+n2an.【答案】见解析【解析】当n=1时,结论显然成立.假设当n=k时,结论对于任意k个非负数成立.则当n=k+1时,对于任意k+1个非负数a1,a2,⋯,ak,ak+1,根据归纳假设有❑√a2+a3+⋯+ak+1+❑√a3+⋯+ak+1+⋯+❑√ak+1≥❑√a2+4a3+9a4+⋯+k2ak+1,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com从而❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+a3+⋯+ak+1+⋯+❑√ak+1≥❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+9a4+⋯+k2ak+1.下面证明❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1≥❑√a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1①由柯西不等式可得[(❑√a2)2+(❑√a3)2+⋯+(❑√ak+1)2]⋅[(❑√a2)2+(2❑√a3)2+⋯+(k❑√ak+1)2]≥(❑√a2⋅❑√a2+❑√a3⋅2❑√a3+❑√a4⋅3❑√a4+⋯+❑√ak.即(a2+⋯+ak+1)⋅(a2+4a3+⋯+k2ak+1)≥(a2+2a3+3a4+⋯+kak+1)2.于是有❑√(a1+a2+⋯+ak+1)⋅(a2+4a3+⋯+k2ak+1)≥(a2+2a3+3a4+⋯+kak+1).故(❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1)2≥a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1.从而❑√a1+a2+⋯+ak+1+❑√a2+4a3+⋯+k2ak+1≥❑√a1+4a2+⋯+(k+1)2ak+1.即①式成立.由数学归纳法可知,对任意的非负实数a1,a2,⋯,an结论均成立.3.【2018年甘肃预赛】设等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+1(n∈N¿).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个实数,使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列,设数列{1dn}的前n项和为Tn,求证:Tn<158.【答案】(1)an=3n−1(2)见解析【解析】(1)由¿两式相减得an+1−an=2(Sn−Sn−1)=2an,所以an+1=3an(n≥2).因为{an}等比,且a2=2a1+1,所以3a1=2a1+1,所以a1=1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故an=3n−1.(2)由题设得an+1=an+(n+1)dn,所以1dn=n+1an+1−an=n+12⋅3n−1,所以2Tn=2+33+432+⋅⋅⋅+n+13n−1,则23Tn=23+332+⋅⋅⋅+n3n−1+n+13n¿2+13(1−13n−1)1−13−n+13n,所以Tn=158−2n+58⋅3n−1<158.4.【2018年吉林预赛】数列{an}为等差数列,且满足3a5=8a12>0,数列{bn}满足bn=an⋅an+1⋅an+2(n∈N¿),{bn}的前n项和记为Sn.问:当n为何值时,Sn取得最大值,说明理由.【答案】16【解析】因为3a5+8a12>0,所以3a5=8(a5+7d).解得a5=−565d>0.所以d<0,a1=−765d.故{an}是首项为正数的递减数列.由¿,即¿,解得1515≤n≤1615.即a16>0,a17<0,所以a1>a2>a3>⋯>a16>0>a17>a18>⋯,所以b1>b2>b3>⋯>b14>0>b17>b18>⋯,而b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0.故S14>S13>⋯>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>⋯,又S16−S14=b15+b16=a16a17(a15+a18)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com¿a16a17(−65d+95d)=35da16a17>0所以Sn中S16最大,即n=16时,Sn取得最大值.5.【2018年河南预赛】在数列{an}中,a1、a2是给定的非零整数,an+2=|an+1−an|.(1)若a16=4,a17=1,求a2018;(2)证明:从{an}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项.【答案】(1)1(2)见解析【解析】(1)因a16=4,a17=1,a18=3,a19=2,a20=1,a21=1...

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