小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题39排列组合与图论第二缉1．【2017年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1次手,但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样,整个活动共握了60次手,那么最开始参加活动的人数是.【答案】15【解析】提示:设参加活动的人数为n+4,其中中途退出的4个人之间的握手次数为x(0≤x≤C42=6).从而由题意得Cn2+4⋅2=60+x,即n(n−1)=104+2x.由0≤x≤6且x为整数,可得x=3,n=11.故最开始参加活动的人数为n+4=15.2．【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9A44=216.3．【2016年山东预赛】在(x+❑√x+1)2n+1¿的展开式中，x的整数次幂项的系数和为_____.【答案】12(32n+1+1)【解析】令P=(x+❑√x+1)2n+1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comQ=(x−❑√x+1)2n+1.由二项式定理，知P、Q中的x的整数次幂项之和相同，记作S（x），非整数次幂项之和互为相反数.故2S(x)=P+Q¿(x+❑√x+1)2n+1+(x−❑√x+1)2n+1令.则所求的系数和为12(32n+1+1).4．【2016年山东预赛】设(x1,x2,⋯,x20)为（1，2，…，20）的一个排列，且满足∑i=120(|xi−i|+|xi+i|)=620.则这样的排列有________个.【答案】(10!)2【解析】因为xi>0，所以，∑i=120(|xi−i|+|xi+i|)¿∑i=120(|xi−i|+(xi+i))¿∑i=120|xi−i|+∑i=120(xi+i)¿∑i=120|xi−i|+¿∑i=1202i=620¿.原式化简得∑i=120|xi−i|=200.注意到，|a−b|=max{a,b}−min{a,b}，且(x1,x2,⋯,x20)为（1，2，…，20）的一个排列.于是，在max{xi,i}、min{xi,i}(1,2,⋯,20)中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∑i=120max{xi−i}−∑i=120min{xi−i}≤2∑i=1120i−2∑i=120❑i.故200=∑i=120|xi−i|∑i=120(max{xi−i}−min{xi−i})¿∑i=120max{xi,i}−¿∑i=120min{xi,i}¿≤2∑i=120i−2∑i=120❑i=200.从而，{x1,x2,⋯,x10}={11,12,⋯,20}，{x11,x12,⋯,x20}={1,2,⋯,10}.由分布计数原理，排列{x1,x2,⋯,x20}的个数为(10!)2.5．【2016年新疆预赛】平面上n个圆两两相交,最多有______个交点.【答案】n(n−1)【解析】两个圆相交时,最多有2个交点;三个圆相交时,最多有2+4=6个交点;四个圆相交时,最多有2+4+6=12个交点;n个圆相交时,最多有2+4+…+2(n−1)=n(n−1)个交点.6．【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.【答案】155【解析】甲、乙共同选修的课程有C51种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用(a,b)表示其余四门小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com课程中甲选a门、乙选b门的情形.则由a>b,知共有(4,0),(3,0),(3,1),(2,0),(2,1),(1,0)六种情形.于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为C51(C44+C43+C43+C42+C42C21+C41)=155.7．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有C42=6种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有C41C31×3=36种排法.故共有42种方法.8．【2016...