小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题33不等式第二缉1.【2018年贵州预赛】若实数a使得不等式|x−2a|+|2x−a|≥a2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是_______.【答案】[−32,32]【解析】设x=ka(k∈R),则|ka−2a|+|2ka−a|≥a2,即对∀k∈R,恒有|k−2|+|2k−1|≥|a|⇔|k−2|+|2k−1|sin≥|a|,而|k−2|+|2k−1|min=32,所以|a|≤32⇔a∈[−32,32].故答案为:[−32,32]2.【2018年广西预赛】设a∈R,若x>0时均有(x2+ax−5)(ax−1)≥0成立,则a=¿______.【答案】12【解析】当a=0时,显然不能使原不等式对任意的x>0恒成立.因此a≠0.注意到y=x2+ax−5的开口向上,所以必然要求a>0.对于方程x2+ax−5=0,设其两根为x1、x2,且x1<0,x2>0,令x3=1a.由x>0时,原不等式恒成立,可知x2=x3,故−a+❑√a2+202=1a.解得a=12.3.【2018年湖北预赛】设正实数x、y满足x2+y2+1x+1y=274,则P=15x−34y的最小值为______.【答案】6【解析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由三元均值不等式,可得x2+1x=(x2+8x+8x)−15x≥33√x2⋅8x⋅8x−15x=12−15x,①y2+1y=(y2+18y+18y)+34y≥33√y2⋅18y⋅18y=34+34y.②当且仅当x=2时,①中等号成立;当且仅当y=12时,②中等号成立.①+②,得x2+y2+1x+1y≥514+(34y−15x).又已知x2+y2+1x+1y=274,故514+(34y−15x)≤274,整理得15x−34y≥6.当且仅当x=2,y=12时等号成立.所以,P=15x−34y的最小值为6.4.【2018年甘肃预赛】设x,y满足¿只在点A(2,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是______.【答案】−12<a<2【解析】画出平面区域如下:由数形结合可得−2←a<12,即−12<a<2.5.【2018年甘肃预赛】若正实数x,y满足y>2x,则y2−2xy+x2xy−2x2的最小值是______.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】4【解析】y>2x得yx>2,设t=yx(t>2),则y2−2xy+x2xy−2x2=(yx)2−2yx+1yx−2¿t2−2+1t−2=(t−2)+1t−2+2≥2❑√(t−2)⋅1t−2+2=4,当且仅当t=3时等号成立,故y2−2xy+x2xy−2x2的最小值是4.6.【2018年吉林预赛】若实数a,b满足¿,则a+2b2a+b的最大值为_________.【答案】75【解析】试题分析:由a+2b2a+b=12(2a+b)+32b2a+b=12+32b2a+b=12+322ab+1知,可行域内一点与原点连线的斜率最大时,a+2b2a+b最大,由¿,此时ab有最小值13,得a+2b2a+b最大值,所以答案应填:.考点:线性规划.7.【2018年天津预赛】实数x、y满足x2+y2=20,则xy+8x+y的最大值是____________【答案】42【解析】注意xy≤14x2+y2,8x≤x2+16,y≤14y2+1,这三者相加即得xy+8x+y≤54(x2+y2)+17=42.当x=4,y=2时等号成立,所以xy+8x+y的最大值是42.也可以直接用柯西(Cauchy)不等式(xy+8x+y)2≤(x2+82+y2)(y2+x2+12)=84×21=422,得到最大值为42.故答案为:42小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com8.【2018年河南预赛】已知a、b、c均为正数,则min{1a,2b,4c,3√abc}的最大值为______.【答案】❑√2【解析】记M=min{1a,2b,4c,3√abc},那么M≤1a,M≤2b,M≤4c,于是M3≤8abc,得3√abc≤2M.①又M≤3√abc.②由①②可得M≤2M,所以M≤❑√2,即Mmax=❑√2,当且仅当c=2b=4a=2❑√2时取得.9.【2018年河北预赛】若实数x、y、z满足x2+y2+z2=3,x+2y−2z=4,则zmax+zmin=¿_____.【答案】−169【解析】由柯西不等式得(x2+y2)(1+22)≥(x+2y)2,由已知得x2+y2=3−z2,(x+2y)2=(4+2z)2,所以有5(3−z2)≥(4+2z)2,化简得9z2+16z+1≤0,即Zmax、Zmin为方程9z2+16z+1=0的两根,由韦达定理得Zmax+Zmin=−169.10.【2018年河北预赛】已知x⩾1,y⩾1且lg2x+lg2y=lg10x2+lg10y2,则u=lgxy的最大值为________.【答案】2+2❑√2【解...