小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§1.4基本不等式考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.知识梳理1.基本不等式:≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)+≥2(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)≥2(a,b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤2与≤等成立的件是相同的.号条(×)(2)y=x+的最小是值2.(×)(3)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4.(√)(4)函数y=sinx+,x∈的最小值为4.(×)教材改编题1.若正实数a,b满足a+4b=ab,则ab的最小值为()A.16B.8C.4D.2答案A解析因正为实数a,b足满a+4b=ab,所以ab=a+4b≥2=4,所以ab≥16,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com且当仅当a=4b,即a=8,b=2等成立.时号2.函数y=x+(x≥0)的最小值为________.答案1解析因为x≥0,所以x+1>0,>0,利用基本不等式得y=x+=x+1+-1≥2-1=1,且当仅当x+1=,即x=0,等成立.时号所以函数y=x+(x≥0)的最小值为1.3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析矩形的一设边为xm,面积为ym2,另一则边为×(20-2x)=(10-x)m,其中0<x<10,∴y=x(10-x)≤2=25,且当仅当x=10-x,即x=5,等成立,时号∴ymax=25,即矩形地的最大面是场积25m2.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知x>2,则函数y=x+的最小值是()A.2B.2+2C.2D.+2答案D解析由意可知,题x-2>0,∴y=(x-2)++2≥2+2=+2,且当仅当x=2+,等成立,时号∴函数y=x+(x>2)的最小+值为2.(2)设0<x<,则函数y=4x(3-2x)的最大值为________.答案解析 0<x<,∴3-2x>0,y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22=,且当仅当2x=3-2x,即x=,等成立.时号 ∈,∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.命题点2常数代换法例2已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,则2x+y的最小值为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA.16B.8+4C.12D.6+4答案A解析由意可知+=题1,∴2x+y=(2x+y)=++8≥2+8=16,且=,即当仅当x=4,y=8,等成立,时号则2x+y的最小值为16.命题点3消元法例3(2023·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.答案6解析方法一(元消元法换)由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·2,且当仅当x=3y,即x=3,y=1取等.时号即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,且当仅当3(1+y)=,即y=1,x=3取等,时号所以x+3y的最小值为6.延伸探究本例件不,求条变xy的最大.值解9-xy=x+3y≥2,∴9-xy≥2,令=t,∴t>0,∴9-t2≥2t,即t2+2t-9≤0,解得0<t≤,∴≤,∴xy≤3,且当仅当x=3y,即x=3,y=1取等,时号∴xy的最大值为3.思维升华(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征活形,配出、和常的形式,然后再利用基本不等式.灵变凑积为数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc9...