小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第三课时最值、范围问题题型一最值问题角度1基本不等式法求最值例1已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解(1)设F(c,0),由条件知=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意;设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1+x2=,x1·x2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=.所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==≤1,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.角度2函数法求最值小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2在平面直角坐标系中,O为坐标原点,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2,以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设经过点(-2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN的面积的最大值.解(1)由题意,得椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则b=c,∴a2=b2+c2=2b2,∴椭圆E的标准方程为+=1. 椭圆E经过点,∴+=1,解得b2=1,∴椭圆E的标准方程为+y2=1.(2) 点(-2,0)在椭圆E外,∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则直线l:y=k(x+2).设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.∴x1+x2=,x1x2=,Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得0≤k2<,∴|MN|=|x1-x2|=2. 点F2(1,0)到直线l的距离d=,∴△F2MN的面积为S=|MN|·d=3.令1+2k2=t,t∈[1,2),得k2=.∴S=3=3=3=3,当=,即t=时,S有最大值,Smax=,此时k=±.∴△F2MN的面积的最大值是.感悟提升处理圆锥曲线最值问题的求解方法小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.训练1(2022·长沙模拟)已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1,F2,点P(-1,-1)且F1F2⊥OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程;(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求△PMN面积的最小值.解(1) F1(1,0),F2,∴F1F2=,F1F2·OP=·(-1,-1)=1-=0,∴p=2,∴抛物线C2的方程为x2=4y.(2)设过点O的直线MN的方程为y=kx(k<0),联立得(kx)2=4x,解得M,联立得N(4k,4k2),从而|MN|==.点P到直线MN的距离d=,所以S△PMN=··===2.令t=k+(t≤-2).则S△PMN=2(t-2)(t+1),当t=-2,即k=-1时,S△PMN取得最小值,最小值为8,即当过原点的直线方程为y=-x时,△PMN的面积取得最小值8.题型二范围问题例3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.(1)证明因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2...