小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第3节奇偶性、对称性与周期性考试要求1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错误.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错误.2.(多选)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=ln|x|D.y=2-x答案BC解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项为偶函数;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f=,则f=()A.-B.-C.D.答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x)=f(-x),所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,f=f=f=.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________.答案(-2,0)∪(2,5]解析由图象知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,∴当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=________.答案-7解析因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,故f(x)=2x-1(x≥0),则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+3)=f(x),且当x∈时,f(x)=-x3,则f=________.答案解析由f(x+3)=f(x)知函数f(x)的周期为3,又函数f(x)为奇函数,所以f=f=-f==.考点一函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+...