小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§3.4函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2023·州苏质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)=f(-x),且当x∈(-∞,0]时,f(x)+xf′(x)<0成立,若a=20.6·f(20.6),b=ln2·f(ln2),c=log2·f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b答案B解析因函为数f(x)在R上足满f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函,数令g(x)=xf(x),则g(x)是奇函,数g′(x)=f(x)+x·f′(x),由意知,题当x∈(-∞,0],时f(x)+xf′(x)<0成立,所以g(x)在(-∞,0]上,单调递减又g(x)是奇函,所以数g(x)在R上,单调递减因为20.6>1,0<ln2<1,log2=-3<0,所以log2<0<ln2<1<20.6,又a=g(20.6),b=g(ln2),c=g,所以c>b>a.思维升华(1)出现nf(x)+xf′(x)形式,造函构数F(x)=xnf(x);(2)出现xf′(x)-nf(x)形式,造函构数F(x)=.跟踪训练1(2023·重模庆拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)=0,则不等式f(x)<0的解集是()A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(0,1)答案D解析令g(x)=且x≠0,则g′(x)=,又任意正对实数x足满xf′(x)>2f(x),即当x>0,时g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上增,单调递由f(x)偶函,为数则g(-x)===g(x),所以g(x)也偶函,故为数g(x)在(-∞,0)上单调递减,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则g(-1)=g(1)==0,且f(x)<0等价于g(x)=<=g(1),所以x∈(-1,0)∪(0,1).命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的x∈R,都有f′(x)-f(x)<1,且f(0)=2022,则不等式f(x)+1>2023ex的解集为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.D.(-∞,1)答案A解析造函构数F(x)=,则F′(x)==,因为f′(x)-f(x)<1,所以F′(x)<0恒成立,故F(x)=在R上,单调递减f(x)+1>2023ex可形变为>2023,又f(0)=2022,所以F(0)==2023,所以F(x)>F(0),解得x<0.思维升华(1)出现f′(x)+nf(x)形式,造函构数F(x)=enxf(x);(2)出现f′(x)-nf(x)形式,造函构数F(x)=.跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3e3-x的解集为________.答案(3,+∞)解析设F(x)=f(x)·ex,则F′(x)=f′(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f′(x)]>0,∴F(x)在R上增.单调递又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3. f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,即F(x)>F(3),∴x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).命题点3利用f(x)与sinx,cosx构造例3已知偶函数f(x)的定义域为,其导函数为f′(x),当0<x<时,有f′(x)cosx+f(x)sinx<0成立,则关于x的不等式f(x)<2fcosx的解集为()A.∪B.C.D.答案A解析因偶函为数f(x)的定域,义为所以设g(x)=,则g(-x)==,即g(x)也是偶函.数当0<x<,时根据意题g′(x)=<0,则g(x)在上,且偶函,单调递减为数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则g(x)在上增.单调递所以f(x)<2fcosx⇔<⇔g(x)<g,所以解得x∈∪.思维升华函数f(x)与sinx,cosx相合造可函的几常形式结构导数种见F(x)=f(x)sinx,F′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx;F(x)=,F′(x)=;F(x)=f(x)cosx,F′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx;F(x)=,F′(x)=.跟踪训练3已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),且当x∈(0,+∞)时,f′(x)sinx+f(x)cosx<0,若a=f,b=-f,则a与b的大小关系为_____.(用“<”连接)答案a<b解析设φ(x)=f(x)·sinx,则φ′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx,∴x∈(0,+∞),时φ′(x)<0,即...