小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第二课时向量法求距离、探索性及折叠问题题型一利用向量法求距离角度1点到直线的距离例1已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足AP＝AB＋AD＋AE，则点P到AB的距离为________.答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，则AP＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝.又AB＝(1，0，0)，∴AP在AB上的投影为＝，∴点P到AB的距离为)＝.角度2点到平面的距离例2如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝1，E为PC的中点.(1)证明：BE∥平面PAD.(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.(1)证明如图，取PD的中点F，连接AF，EF，因为E为PC的中点，F为PD的中点，所以EF綉CD.又AB綉CD，所以EF綉AB，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)解法一(向量法)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD.在等边△PBC中，PO＝，OP⊥BC.又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC.如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，)，A(－1，1，0)，D(1，2，0)，C(1，0，0)，故E，所以AD＝(2，1，0)，PA＝(－1，1，－)，PE＝.设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝－2，z＝－，故n＝(1，－2，－)为平面PAD的一个法向量.所以点E到平面PAD的距离d＝＝＝.法二(等体积法)由(1)得BE∥平面PAD，故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离.如图，取BC的中点G，连接PG，DG，BD，易知PG⊥BC.又△PBC是边长为2的正三角形，所以PG＝，PB＝BC＝2.因为AB⊥平面PBC，AB⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PBC.因为平面ABCD∩平面PBC＝BC，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥GD.因为AB⊥平面PBC，所以AB⊥BC，AB⊥PB，所以四边形ABCD是直角梯形，且AB＝1，BC＝2，CD＝2，则AD＝，S△ABD＝×1×2＝1.因为AB⊥PB，AB＝1，PB＝2，所以PA＝.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在Rt△PGD中，易知DG＝.又PG＝，所以PD＝2，所以S△APD＝×2×＝.设点B到平面PAD的距离为h，因为三棱锥P－ABD的体积V＝S△APD×h＝S△ABD×PG，所以h＝＝＝.所以点E到平面PAD的距离为.感悟提升(1)向量法求点到直线距离的步骤①根据图形求出直线的单位方向向量v.②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量MN.③垂线段长度d＝.(2)求点到平面的距离的常用方法①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.③等体积法.④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝.训练1如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4). N是CC1的中点，∴N(0，4，2).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)AN＝(0，4，2)，AB＝(2，2，0)，则|AN|＝2，|AB|＝4.设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝)＝＝4.(2)设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝.易知C1N＝(0，0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝＝＝.题型二立体几何中的探索性问题例3(12分)(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成...