小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考试要求1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角和距离.1.两条异面直线所成的角设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cosθ=|cos〈u,v〉|==.2.直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈u,n〉|==.3.平面与平面的夹角(1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)两平面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|==.4.点P到直线l的距离设AP=a,u是直线l的单位方向向量,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ==.5.点P到平面α的距离若平面α的法向量为n,平面α内一点为A,则平面α外一点P到平面α的距离d==,如图所示.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sinθ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cosθ=|cos〈a,n〉|.2.二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.()(4)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角;(2)直线的方向向量a,平面的法向量n,直线与平面所成的角为θ,则sinθ=|cosa,n|;(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角.2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=,则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案B解析由于cos〈m,n〉=,所以〈m,n〉=30°,所以直线l与α所成的角为60°.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.-B.-C.D.答案D解析建立如图空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC(0,1,0),E,则AC=(-1,1,0),DE=,设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos〈AC,DE〉|=.4.(2021·聊城模拟)已知点M(0,1,-2),平面α过原点,且平面α的法向量n=(1,-2,2),则点M到平面α的距离为________.答案2解析由题意可知点M到平面α的距离即为OM在n的投影的长度, M(0,1,-2),∴OM=(0,1,-2),∴OM·n=-6,|n|=3,故点M到平面α的距离为=2.5.(易错题)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为________.答案30°解析设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos120°|=.又 0°≤θ≤90°,∴θ=30°.6.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy所成的角为45°,则a=________.答案解析平面Oxy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为u=(x,y,z),则则3x=4y=az,取z=1,则u=,而cos〈n,u〉==.又a>0,故a=.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第一课时向量法求空间角题型一异面直线所成的角例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC...