小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考试要求1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角和距离.1.两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝.2.直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝.3.平面与平面的夹角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.4.点P到直线l的距离设AP＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.5.点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cosa，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角.2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝，则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案B解析由于cos〈m，n〉＝，所以〈m，n〉＝30°，所以直线l与α所成的角为60°.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.－B.－C.D.答案D解析建立如图空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC(0，1，0)，E，则AC＝(－1，1，0)，DE＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AC，DE〉|＝.4.(2021·聊城模拟)已知点M(0，1，－2)，平面α过原点，且平面α的法向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离为________.答案2解析由题意可知点M到平面α的距离即为OM在n的投影的长度， M(0，1，－2)，∴OM＝(0，1，－2)，∴OM·n＝－6，|n|＝3，故点M到平面α的距离为＝2.5.(易错题)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________.答案30°解析设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝.又 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.6.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy所成的角为45°，则a＝________.答案解析平面Oxy的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，则则3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝，而cos〈n，u〉＝＝.又a＞0，故a＝.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第一课时向量法求空间角题型一异面直线所成的角例1如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC...