2024年高考生物一轮复习讲义(新人教版)第二课时 利用导数研究函数的零点.doc本文件免费下载 【共11页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第二课时利用导数研究函数的零点题型一判断、证明或讨论零点的个数例1已知函数f(x)=xsinx-.判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.解f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下: f′(x)=sinx+xcosx,当x∈时,f′(x)>0,f(x)=xsinx-,从而有f(0)=-<0,f=>0,又f(x)在上的图象是连续不间断的.所以f(x)在内至少存在一个零点.又f(x)在上单调递增,故f(x)在内有且只有一个零点.当x∈时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx.由g=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在上的图象是连续不间断的,故存在m∈,使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈时,有g′(x)<0,从而g(x)在内单调递减.当x∈时,g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,从而f(x)在内单调递增,故当x∈时f(x)≥f=>0,故f(x)在上无零点;当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0,从而f(x)在(m,π)内单调递减.又f(m)>0,f(π)<0,且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,从而f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点.综上所述,f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.感悟提升利用导数求函数的零点常用方法(1)构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多少个零点.训练1已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.(2)证明由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.题型二根据零点情况求参数范围例2已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,则f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),则切线的斜率k=f′(1)=2,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=f(x)-ax+m=2lnx-x2+m,则g′(x)=-2x=, x∈,∴由g′(x)=0,得x=1.当≤x<1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当1<x≤e时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,故当x=1时,函数g(x)取得极大值g(1)=m-1,又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,且g>g(e),∴g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点需满足条件解得1<m≤2+.故实数m的取值范围是.感悟提升1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,根据图象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点判断函数的大致图象,进而求出参数的取值范围.也可分离出参数,转化为两函数图象的交点情况.训练2已知函数f(x)=ex+(a-e)x-ax2.(1)当a=0时,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点,求实数a的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=ex-ex,则f′(x)=ex-e,f′(1)=0,当x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=0,无极大值.(2)由题意得f′(x)=ex-2ax+a-e,设g(x)=ex-2ax+a-e,则g′(x)=ex-2a.若a=0,由(1)知f(x)的极小值f(1)=0,故f(x)在区间(0,1)内...

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