小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§4.4简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).知识梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin2,1+cosα=2cos2.(升幂公式)(2)1±sinα=2.(升幂公式)(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式就是倍角的余弦公式逆求而得的.实质将来(√)(2)存在实数α,使tan2α=2tanα.(√)(3)cos2=.(√)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(4)tan==.(√)教材改编题1.(2021·全乙卷国)cos2-cos2等于()A.B.C.D.答案D解析方法一(公式法)因为cos=sin=sin,所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos=cos=.方法二(代法值)因为cos=,cos=,所以cos2-cos2=2-2=.2.若角α满足sinα+2cosα=0,则tan2α等于()A.-B.C.-D.答案D解析由意知,题tanα=-2,所以tan2α==.3.若α为第二象限角,sinα=,则sin2α等于()A.-B.-C.D.答案A解析因为α第二象限角,为sinα=,所以cosα=-=-=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.题型一三角函数式的化简例1(1)(2021·全甲卷国)若α∈,tan2α=,则tanα等于()A.B.C.D.答案A解析方法一因为tan2α==,且tan2α=,所以=,解得sinα=.因为α∈,所以cosα=,tanα==.方法二因为tan2α====,且tan2α=,所以=,解得sinα=.因为α∈,所以cosα=,tanα==.(2)已知sinα+cosα=,则sin2=________.答案解析因为sinα+cosα=,同平方得两边时sin2α+2sinαcosα+cos2α=,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即sin2α=,由降公式可知幂sin2===-sin2α=.思维升华(1)三角函式的化要遵循数简“三看”原:则一看角,二看名,三看式子特征.结构与(2)三角函式的化要注意察件中角之的系数简观条间联(和、差、倍、互余、互等补),找式寻子和三角函公式之的系点.数间联跟踪训练1(1)若f(α)=2tanα-,则f的值是________.答案6-解析依意,题f(α)=2tanα-=2tanα+,而tan=tan===2-,于是得f=2(2-)+=6-,所以f的是值6-.(2)化简:·=________.答案解析·=·=·=·=.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2计算:(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°;(2)-;(3).解(1)原式=cos20°·cos40°·cos80°===.(2)原式====2.(3)原式======-2.命题点2给值求值例3(2023·春长质检)已知sin+cosα=,则sin等于()A.B.C.-D.-答案D解析 sin+cosα=,∴sinαcos-cosαsin+cosα=,∴sinα-cosα+cosα=,∴sinα+cosα=,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴cos=,∴sin=sin=cos2=2cos2-1=2×2-1=-.命题点3给值求角例4已知sinα=,cosβ=,且α,β为锐角,则α+2β=.答案解析因为sinα=,且α角,所以为锐cosα===,因为cosβ=,且β角,所以为锐sinβ===,那么sin2β=2sinβcosβ=2××=,cos2β=1-2sin2β=1-2×2=,所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=,因为α∈,β∈,所以2β∈(0,π).所以α+2β∈,故α+2β=.思维升华(1)给值(角)求求解的在于值问题关键“角变”,使其角相同或具有某系,借种关助角之的系找化方法.间联寻转(2)给值(角)求的一般步值问题骤①化件式子或待求式...