小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知识梳理1.向量的夹角已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积,记作a·b.3.平面向量数量积的几何意义设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,AB=a,CD=b,过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1,我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cosθe.4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b=|a||b|cosθa·b=x1x2+y1y2模|a|=|a|=夹角cosθ=cosθ=a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量的角的范是两个夹围.(×)(2)若a,b共,线则a·b=|a|·|b|.(×)(3)向量的量是一,向量的加、、乘算的果是向量.两个数积个实数减数运结(√)(4)若a·b=a·c,则b=c.(×)教材改编题1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于()A.1B.C.3D.3答案C解析由意可得题a·b=|a|·|b|cos30°=2××=3.2.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.答案23.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则a·b的值等于________;a与b夹角的余弦值等于________.答案5解析因为a=(1,2),b=(-3,4),所以a·b=-3×1+2×4=5,|a|==,|b|==5,所以cos〈a,b〉===.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中,已知AB=DC,P为CD上一点,CP=3PD,|AB|=4,|AD|=3,AB与AD的夹角为θ,且cosθ=,则AP·PB等于()A.8B.-8C.2D.-2答案D解析如所示,图小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AB=DC,∴四形边ABCD平行四形,为边 CP=3PD,∴AP=AD+DP=AD+AB,PB=AB-AP=AB-AD,又 |AB|=4,|AD|=3,cosθ=,则AB·AD=4×3×=8,∴AP·PB=·=AB·AD-AD2+AB2=×8-9+×42=-2.(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中,AB=6,BC=3BD,AM=2AD,则MC·MB=________.答案22解析如,以图BC所在直线为x,轴BC的垂直平分线为y,建立平面直角坐系,轴标 AB=6,BC=3BD,AM=2AD,∴B(-3,0),C(3,0),M(-2,-3),∴MB=(-1,3),MC=(5,3),∴MC·MB=-5+27=22.思维升华算平面向量量的主要方法计数积(1)利用定:义a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)利用坐算,若标运a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求量.数积(4)活用平面向量量的几何意.灵运数积义跟踪训练1(1)(2022·岳模阳拟)已知正方形ABCD的对角线AC=2,点P在另一条对角线BD上,则AP·AC的值为()A.-2B.2C.1D.4答案B小学、初中、高中各种试卷...