小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容,主、客观题均可出现,一般通过构造新的数列求数列的通项公式.题型一形如an+1=pan+f(n)型命题点1an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)例1(1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2024等于()A.22023-1B.42023-1C.22023+1D.42023+1答案B解析 an=4an-1+3(n≥2),∴an+1=4(an-1+1)(n≥2),∴{an+1}是以1首,为项4公比的等比列,为数则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1,∴a2024=42023-1.(2)已知数列{an}的首项a1=1,且=+2,则数列{an}的通项公式为__________.答案an=解析 =+2,等式同加两边时1整理得+1=3,又 a1=1,∴+1=2,∴是首项为2,公比为3的等比列.数∴+1=2·3n-1,∴an=.命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)例2已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,求数列{an}的通项公式.解 an+1=2an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n),∴=2,∴列数{an-n}是以a1-1=2首,为项2公比的等比列,为数∴an-n=2·2n-1=2n,∴an=2n+n.命题点3an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)例3(1)已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2·3n+1,n∈N*.则数列{an}的通项公式为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA.an=(2n+1)·3nB.an=(n-1)·2nC.an=(2n-1)·3nD.an=(n+1)·2n答案C解析由an+1=3an+2·3n+1得=+,∴-=2,即列是首数项为1,公差为2的等差列,数∴=2n-1,故an=(2n-1)·3n.(2)在数列{an}中,a1=1,且满足an+1=6an+3n,则an=________.答案-3n-1解析已知将an+1=6an+3n的同乘,得=两边2·+,令bn=,则bn+1=2bn+,利用命点题1的方法知bn=-,则an=-3n-1.思维升华形式造方法构an+1=pan+q引入参数c,造新的等比列构数{an-c}an+1=pan+qn+c引入参数x,y,造新的等比列构数{an+xn+y}an+1=pan+qn同除以两边qn+1,造新的列构数跟踪训练1(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.则数列{an}的通项公式an等于()A.n·2n-1B.n·2nC.(n-1)·2nD.(n+1)·2n答案A解析由an+1=2an+2n得=+1,设bn=,则bn+1=bn+1,又b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为1的等差列.数∴bn=n,∴an=n·2n-1.(2)(2023·山模黄拟)已知数列{an}满足a1=1,(2+an)·(1-an+1)=2,设的前n项和为Sn,则a2023(S2023+2023)的值为()A.22023-2B.22023-1C.2D.1答案C解析(2+an)(1-an+1)=2,则an+1=,即=+1,得+1=2,故是以2首,为项2公比的等比列,+为数1=2n,=2n-1,an=,S2023+2023=2+22+…+22023=22024-2,∴a2023(S2023+2023)=2.(3)已知数列{an}满足an+1=2an+n,a1=2,则an=________.答案2n+1-n-1小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析令an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),即an+1=2an+xn+y-x,原等式比得,与较x=y=1,所以=2,所以列数{an+n+1}是以a1+1+1=4首,为项2为公比的等比列,所以数an+n+1=4×2n-1,即an=2n+1-n-1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)例4(1)已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10等于()A.47B.48C.49D.410答案C解析由意得题a1+a2=4,由an=3an-1+4an-2(n≥3),得an+an-1=4(an-1+an-2),即=4(n≥3),所以列数{an+an+1}是首项为4,公比为4的等比列,所以数a9+a10=49.(2)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*).则数列{an}的通项公式为an=________.答案解析方法一因为an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),设bn=an+1+an,所以===3,又因为b1=a2+a1=3,所以{bn}是以首项为3,公比为3的等比列.数所以bn=an+1+an=3×3n-1=3n,而...