小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com必刷大题14空间向量与立体几何1．(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD与平面BCD夹角的正弦值．解(1)点设A到平面A1BC的距离为h，因直三柱为棱ABC－A1B1C1的体积为4，所以＝S△ABC·AA1，又△A1BC的面积为2，＝×2h＝，所以h＝，即点A到平面A1BC的距离为.(2)取A1B的中点E，接连AE，则AE⊥A1B.因平面为A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB.以B坐原点，分以为标别BC，BA，BB1的方向为x，y，z的正方向，建立如所示的空轴图间直角坐系，标小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2.因为△A1BC的面积为2，所以2＝·A1B·BC，所以BC＝2，所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，则BD＝(1,1,1)，BA＝(0,2,0)．平面设ABD的法向量为n＝(x，y，z)，即则令x＝1，得n＝(1,0，－1)．又平面BDC的一法向量个为AE＝(0，－1，1)，所以cos〈AE，n〉＝＝＝－.平面设ABD平面与BCD的角夹为θ，则sinθ＝＝，所以平面ABD平面与BCD角的正弦夹值为.2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中点，PA＝AB.(1)求证：AM⊥平面PBD；(2)设直线AM与平面PBD交于O，求证：AO＝2OM.证明(1)由意知，题AB，AD，AP垂直，以两两A坐原点，为标AB，AD，AP所在直分线别为x、轴y、轴z，建立空直角坐系，如，轴间标图小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设PA＝AB＝2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，PB＝(2,0，－2)，PD＝(0,2，－2)，AM＝(1,1,1)，平面设PBD的法向量为n＝(x，y，z)，取则x＝1，得n＝(1,1,1)， AM＝n，∴AM⊥平面PBD.(2)如，接图连AC交BD于点E，则E是AC的中点，接连PE， AM∩平面PBD＝O，∴O∈AM且O∈平面PBD， AM⊂平面PAC，∴O∈平面PAC，又平面PBD∩平面PAC＝PE，∴O∈PE，∴AM，PE的交点就是O，接连ME， M是PC的中点，∴PA∥ME，PA＝2ME，∴△PAO∽△EMO，∴＝＝，∴AO＝2OM.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求点B到平面PCF的距离．(1)证明接连EF(略图)， E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA， EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD， AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.∴四形边ADCF平行四形，即为边CF∥AD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CF∥平面PAD， EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴平面PAD∥平面EFC，CE⊂平面EFC，则CE∥平面PAD.(2)解 ∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.设CF＝x，则S△AFC＝×1×x＝，S△PFC＝××x＝x，点设A到平面PCF的距离为h，由VP－AFC＝VA－PFC，得××2＝××h，则h＝. 点F为AB的中点，∴点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离，为.4.(2022·全乙卷国)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．(1)证明因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB...