小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com立体几何(6)1．[2019·武汉高三毕业班调研]在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝∠CAB＝90°，AD＝AC＝2，PC⊥AD，PC＝PD.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若AB＝CD＝PC，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．解析：(1)证明：在△ACD中，由∠ACD＝90°及AD＝AC＝2，得AC＝CD＝，则△ACD为等腰直角三角形，所以∠ADC＝45°.过点P作PE⊥AD，垂足为E，连接CE，因为PC⊥AD，PE∩PC＝P，所以AD⊥平面PEC，又CE⊂平面PEC，则AD⊥CE，由∠ADC＝45°可知EC＝ED.而PC＝PD，PE＝PE，从而△PED≌△PEC，所以PE⊥EC.又PE⊥AD，且EC∩AD＝E，可得PE⊥平面ABCD，又PE⊂平面PAD，故平面PAD⊥平面ABCD.(2)由AC＝CD及CE⊥AD知E是AD的中点．如图，建立空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，－2，0)，则CD＝(－1，1，0)，CP＝(－1，0，1)，BP＝(－1，2，1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则n＝(1，1，1)．设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BP，n〉|＝＝.故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.2.[2019·郑州市高三毕业班质量检测]四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝，PA＝PB，侧面PAB⊥底面ABCD.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明：PC⊥BD；(2)设BD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B－PC－D的余弦值．解析：(1)证法一设AB中点为O，连接PO，由已知PA＝PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，故PO⊥平面ABCD，取CD的中点为E，连接OE，易知OE，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设PO＝h，则P(0，0，h)，B(0，1，0)，C(，1，0)，D(，－1，0)，所以PC＝(，1，－h)，BD＝(，－2，0)，因为PC·BD＝0，所以PC⊥BD.证法二设AB中点为O，连接PO，由已知PA＝PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，故PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，从而BD⊥PO，①在矩形ABCD中，连接CO，设CO与BD交于点M，则由CDCB＝BCBO知，△BCD∽△OBC，所以∠BCO＝∠CDB，所以∠BCM＋∠CBM＝∠CDB＋∠CBM＝90°，故BD⊥CO，②PO∩CO＝O，由①②知BD⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，可得AD⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，平面PAB∩平面PAD＝PA，过点B作BH⊥PA，垂足为H，则BH⊥平面PAD，BD与平面PAD所成的角即为∠BDH，所以BH＝BD＝×＝，可得∠PAB＝60°，从而△PAB为等边三角形，PO＝，以O为坐标原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，1，0)，P(0，0，)，C(，1，0)，D(，－1，0)，(也可以用向量法求出PO，设P(0，0，h)，h>0，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，D(，－1，0)，可求得平面PAD的一个法向量为p＝(0，h，－1)，而BD＝(，－2，0)，由|cos〈p，BD〉|＝sin45°，解得h＝)BP＝(0，－1，)，BC＝(，0，0)，DP＝(－，1，)，DC＝(0，2，0)，设平面BPC的法向量为m＝(a，b，c)，则即令b＝，则c＝1，可取m＝(0，，1)，设平面DPC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝－，则z＝－，可取n＝(－，0，－)，于是cos〈m，n〉＝＝，易知二面角B－PC－D为钝角，故二面角B－PC－D的余弦值为－.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．[2019·贵阳市普通高中高三年级模拟考试]如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，BC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)若AC⊥平面PAD，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值．解析：(1)证明：取AD的中点O，连接MO，NO， M为PD的中点，∴OM∥PA，又 OM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB， N为BC的中点，∴ON∥AB，同理ON∥平面PAB，又 OM∩ON＝O，∴平面MNO...