小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com函数与导数(12)1．[2019·辽宁沈阳教学质量检测]已知函数f(x)＝(x－1)2＋mlnx，m∈R.(1)当m＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求的取值范围．解析：(1)当m＝2时，f(x)＝(x－1)2＋2lnx，f′(x)＝2(x－1)＋，所以f′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1，0)，所以切线方程为2x－y－2＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－1)＋＝.因为x1，x2为函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2－2x＋m＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x1＋x2＝1，x1x2＝，(*)又x1<x2，所以易知0<x1<<x2<1，＝，将(*)式代入得＝＝1－x2＋2x2lnx2.令g(t)＝1－t＋2tlnt，t∈，则g′(t)＝2lnt＋1，令g′(t)＝0，解得t＝.当t∈时，g′(t)<0，g(t)在上单调递减；当t∈时，g′(t)>0，g(t)在上单调递增．所以g(t)min＝g＝1－＝1－，g(t)<max，g＝－ln2<0＝g(1)，即的取值范围是.2．[2019·陕西省高三教学质量检测]已知a∈R，函数f(x)＝x2－alnx.(1)讨论函数f(x)的极值；(2)当a>0时，方程f(x)＝ax存在唯一的实根，求实数a的值．解析：(1)函数f(x)＝x2－alnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－＝.当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值；当a>0时，若x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减；若x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)有极小值f＝－ln，无极大值．综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极小值－ln，无极大值．(2)令h(x)＝f(x)－ax＝x2－alnx－ax，则h′(x)＝2x－－a＝.因为a>0，x>0，令h′(x)＝0，得x0＝，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以h(x)的极小值h(x0)＝0，即x－alnx0－ax0＝0，①且2x－ax0－a＝0，②联立①②可得2lnx0＋x0－1＝0.令m(x)＝2lnx＋x－1，得m′(x)＝＋1>0，故m(x)在(0，＋∞)上单调递增．又m(1)＝0，所以x0＝1，即＝1，解得a＝1.3．[2019·东北三省四市一模]已知a∈R，函数f(x)＝＋alnx，x∈(0，6)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x＝2是f(x)的极值点，且曲线y＝f(x)在两点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))(x1<x2)处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1，b2，求b1－b2的取值范围．解析：(1)f′(x)＝－＋＝，x∈(0，6)，∴当a≤0时，f′(x)<0在x∈(0，6)上恒成立，∴f(x)在(0，6)上单调递减，无单调递增区间；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当a>0，且≥6，即0<a≤时，f′(x)<0在x∈(0，6)上恒成立，∴f(x)在(0，6)上单调递减，无单调递增区间；当a>0，且<6，即a>时，在x∈上，f′(x)<0，在x∈上，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．综上，当a≤时，f(x)在(0，6)上单调递减，无单调递增区间；当a>时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2) x＝2是f(x)的极值点，∴由(1)可知＝2，∴a＝1.则曲线y＝f(x)在P(x1，f(x1))处的切线方程为y－＝(x－x1)，在Q(x2，f(x2))处的切线方程为y－＝(x－x2)， 这两条切线互相平行，∴－＋＝－＋，∴＋＝.∴＝－，又0<x1<x2<6，∴<－<，∴<<，∴x1∈(3，4)．令x＝0，则b1＝＋lnx1－1，同理，b2＝＋lnx2－1.4．[2019·湖北黄石一中第二次模拟]已知函数f(x)＝x3－x2，g(x)＝xlnx－＋5.(1)讨论g′(x)的单调性；(2)若∀m，n∈，f(m)－g(n)＋2≤0恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)g′(x)＝＋lnx＋1(x>0)，令F(x)＝g′(x)，则F′(x)＝(x>0)．①当a≤0时，F′(x)>0，所以g′(x)单调递增．②当a>0时，g′(x)在区间(0，)上单调递减；在区间(，＋∞)上单调递增．(2)由题意得x∈时，g(x)min≥[f(x)＋2]max恒成立．因为[f(x)＋2]′＝3x2－2x＝x(3x－2)，所以当x∈时，函数y＝f(x)＋2单调递减；当x∈时，函数y＝f(x)＋2单调递增．又f＋2<f(2)＋2＝6，所以当x∈，[f(x)＋2]max＝6.所以x∈时，g(x)min≥[f(x)＋2]max恒成立，可转化为x∈时，g(x)＝xlnx－＋5≥6恒成立，即a≤x2lnx－x恒成立．设h(x)＝x2lnx－x，则h′(x)＝...