小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com数列(4)1.[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析:(1)解:设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.(2)解:由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.2.[2019·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中,a1=1,=,设bn=·an.(1)证明:数列{bn}是等比数列;(2)求{an}的前n项积Tn.解析:(1)因为==·=·=4,b1=2a1=2,所以数列{bn}是首项为2,公比为4的等比数列.(2)由(1)知bn=·an=2·4n-1,则an=·22n-1.从而Tn=·21+3+5+…+(2n-1)=.3.[2019·辽宁鞍山月考]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1+a2=4,2Sn+1-an+1=2Sn+3an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<.解析:(1)∵2Sn+1-an+1=2Sn+3an,∴2an+1-an+1=3an,∴an+1=3an(n∈N*),∵a1+a2=4,∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,∴an=3n-1.(2)由(1)知Sn=.∵bn=,∴bn==-,∴Tn=++…+=-.∵n∈N*,所以-∈,∴≤-<,即≤Tn<.4.[2019·湖南衡阳联考]已知数列{an},{bn}满足a1=1,b1=,2an+1=an+bn,2bn+1=an+bn(n∈N*).(1)证明:数列{an+bn},{an-bn}均是等比数列;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λ+μ,求λ-μ的值.解析:(1)依题意得两式相加,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com得an+1+bn+1=(an+bn),∴{an+bn}为等比数列;两式相减,得an+1-bn+1=(an-bn),∴{an-bn}为等比数列.(2)∵a1=1,b1=,∴a1+b1=,a1-b1=.由(1)可得an+bn=×n-1①,an-bn=×n-1②.①+②,得an=n+n,∴Sn=+=×+3×=-×-3×n.又Sn=λ+μ=λ+μ,∴λ=,μ=-3,∴λ-μ=.5.[2019·河南洛阳孟津二中月考]在数列{an}中,设f(n)=an,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),a1=1.(1)设bn=,证明:数列{bn}为等差数列;(2)求数列{3an-1}的前n项和Sn.解析:(1)由已知得an+1=2an+2n,得bn+1===+1=bn+1,∴bn+1-bn=1,又a1=1,∴b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)知,bn==n,∴an=n·2n-1,3an-1=3n·2n-1-1.∴Sn=3×1×20+3×2×21+3×3×22+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1-n,两边同时乘以2,得2Sn=3×1×21+3×2×22+…+3(n-1)×2n-1+3n×2n-2n,两式相减,得-Sn=3×(1+21+22+…+2n-1-n×2n)+n=3×(2n-1-n×2n)+n=3(1-n)2n-3+n,∴Sn=3(n-1)2n+3-n.6.[2019·河北九校第二次联考]已知数列{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.解析:(1)由题意知2Sn=an+,即2Snan-a=1,(※)当n=1时,由(※)式可得S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入(※)式,得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,整理得S-S=1.所以{S}是首项为1,公差为1的等差数列,所以S=1+(n-1)×1=n.因为数列{an}的各项都为正数,所以Sn=.由此可得an=Sn-Sn-1=-(n≥2),又a1=S1=1,所以an=-.(2)由(1)知bn===(-1)n(+).当n为奇数时,Tn=-1+(+1)-(+)+…+(+)-(+)=-;小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当n为偶数时,Tn=-1+(+1)-(+)+…-(+)+(+)=.所以{bn}的前n项和Tn=(-1)n.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com