2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：，即.故选：B.2.在复平面内，复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.3.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.B.4C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为，故选：A.5.双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：A.6.和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.7.函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为D.偶函数，最大值为【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.9.已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.10.数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，，所以n的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.展开式中常数项为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：的展开式的通项令得常数项为.考点：二项式定理.12.已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．【答案】①.5②.【解析】【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5，.13.，，，则_______；_______．【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】，，，.故答案...