2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则()A.C.B.D.2.在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数()A.C.3.已知向量满足B.D.,则()A.B.C.0D.14.下列函数中,在区间上单调递增的是()AB.C.D.5.的展开式中的系数为().A.6.已知抛物线A.77.在中,B.的焦点为,点在B.6C.40上.若到直线C.5,则(D.80的距离为5,则()D.4)A.B.C.D.8.若,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为()A.B.C.D.10.已知数列满足,则()A.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立B.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立C.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立D.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知函数,则.12.已知双曲线C的焦点为和,离心率为,则C的方程为.13.已知命题若为第一象限角,且,则.能说明p为假命题的一组的值为,.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,则;数列所有项的和为.15.设,函数,给出下列四个结论:①区间上单调递减;②当时,存最大值;③设,则;④设.若存在最小值,则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图,在三棱锥中,平面,.(1)求证:平面PAB;(2)求二面角的大小.17设函数.(1)若,求的值.(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求值.条件①:;条件②:;条件③:在区间上单调递减.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18.为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)19.已知椭圆的离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是的左、右顶点,.(1)求的方程;(2)设证:为第一象限内E上的动点,直线.与直线交于点,直线与直线交于点.求20.设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)设函数,求的单调区间;(3)求的极值点个数.时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+21.已知数列的项数均为m,且的前n项和分别为,并规定.对于,定义,其中,表示数集M中最大的数.(1)若,求的值;(2)若,且,求;(3)证明:存在,满足使得.