图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/%301050O小学初中高中年级2014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数满足，则A．B．C．D．3．若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则A．5B．6C．7D．84．若实数满足，则曲线与曲线的A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是A．B．C．D．6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A．200，20B．100，20C．200，10D．100，107．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是A．B．C．与既不垂直也不平行D．与的位置关系不确定AFEDCB图38．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A．60B．90C．120D．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9．不等式的解集为．10．曲线在点处的切线方程为．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．在中，角所对应的边分别为.已知，则．13．若等比数列的各项均为正数，且，则．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，，且．（1）求的值；（2）若，，求．图4PABCEDF17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率30.1250.2080.32（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，∥，交于点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数，其中．（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论在区间上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDBABADD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9.10.11.12.213.50（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）PABCEDFxyz16.解：（1），解得.（2）由（1）得，所以所以，又因为，所以，所以.17.（本小题满分12分）17.解：（1），，，.（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件，，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.因为在正方形中，又，所以平面.因为平面，所以.因为，，所以平面.（2）方法一：以为坐标原点，、、分别为、、...