2009年湖南高考理科数学试题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2log0a，1()12b，则【D】A．1a,0bB．1a,0bC.01a,0bD.01a,0b2．对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的【A】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数sinyx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于【D】A．6B．56C.76D.1164．如图1，当参数12,时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则【B】A．120B．210C．120D．2105．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【C】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式组20,30xyxy所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为【B】图1c2c1oyxC1D1B1A1DCBAA．4B．2C．34D．327．正方体1111ABCDABCD的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【C】A．2B．3C．4D．58．设函数()yfx在(,)内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()fx2xxe。若对任意的(,)x，恒有()Kfx()fx，则【D】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.10．在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答).11．若(0,)2x，则2tantan()2xx的最小值为22.12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线C的离心率为6213．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为40。14．在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为3.15．将正ABC分割成2*(2,)nnnN个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()fn，则有(2)2f，(3)f103，…，()fn1(1)(2)6nn.BACABC图3图2三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在ABC中，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小解：设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A.又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA.所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C.由6A知506C，所以42333C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,iiiABCi=1，2，3.由题意知123,,AAA相互独立，123,,BB...