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2014年湖南高考文科数学真题及答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设命题,则为()2.已知集合,则()A.B.C.D.3.对一个容器为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则()4.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()5.在区间[-2,3]上随机选取一个数,则的概率为A.B.C.D.6.若圆与圆,则()7.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于()A.B.C.D.8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.49.若,则()A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中,为原点,,,,动点满足,则的取值范围是()A.B.C.D.二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.复数(为虚数单位)的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中,曲线(为参数)的普通方程为___________.13.若变量满足约束条件,则的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线,则的取值范围是___________.15.若是偶函数,则____________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.16.(本小题满分12分)已知数列的前项和.(I)求数列的通项公式;(II)设,求数列的前项和.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:其中分别表示甲组研发成功和失败;分别表示乙组研发成功和失败.(I)若某组成功研发一种新产品,则给改组记1分,否记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率.18.(本小题满分12分)如图3,已知二面角的大小为,菱形在面内,两点在棱上,,是的中点,面,垂足为.(1)证明:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值.19.(本小题满分13分)如图4,在平面四边形中,,(1)求的值;(2)求的长20.(本小题满分13分)如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程;(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.图521.(本小题满分13分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)记为的从小到大的第个零点,证明:对一切,有参考答案1-5BCDAB6-10CDBCD11.-312.13.714.15.16.解:(Ⅰ)当时,;当时,故数列的通向公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,记数列的前项和为,则记,,则故数列的前项和为17.解:(Ⅰ)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1其平均数为方差为乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1其平均数为方差为因为,,所以甲组的研发水平优于乙组。(Ⅱ)记在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是共7个,故事件发生的频率为将频率视为概率,即得所求概率为18.(Ⅰ)如图a,因为,所以连接,由题设知,是正三角形,又是的中点,所以而,故图a(Ⅱ)因为,所以与所成的角等于与所成的角,即是与所成的角。由(Ⅰ)知,,所以,又,于是是二面角的平面角,从而不妨设,则,易知在中,连接,在中,故异面直线与所成角的余弦值为19.解:如图4,设(Ⅰ)在中,由余弦定理,得于是,由题设知,,即解得(舍去)在中,由正弦定理,得于是,,即(Ⅱ)由题设知,,于是由(Ⅰ)知而,所以在中,,故20.解(Ⅰ)设的焦距为,由题意知,,,从而,因为点在双曲线上,所以,故由椭圆的定义知于是,故的方程分别为(Ⅱ)不存在符合题设条件的直线(ⅰ)若直线垂直于轴,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或当时,易知,所以此时,当时,同理可知,(ⅱ)若直线不垂直于轴,设的方程为由得当与相交于两点时,设,则是上述方程的两个实根,从而于是由得因为直线与只有一个公共点...

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