2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1.i是虚数单位，复数7+i3+4i=¿¿A.1−iB.−1+iC.1725+3125iD.−177+257i2.设变量x，y满足约束条件{x+y−2≥0x−y−2≤0y≥1)，则目标函数z=¿x+2y的最小值为（）A.2B.3C.4D.53.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A.15B.105C.245D.9454.函数f(x)=log12(x2−4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(−∞,0)C.(2,+∞)D.(−∞,−2)5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25−y220=1B.x220−y25=1C.3x225−3y2100=1D.3x2100−3y225=16.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD⋅FA；③AE⋅CE=BE⋅DE；④AF⋅BD=AB⋅BF．所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a)>b|b)”的¿¿A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=¿120∘，点E，F分别在边BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，若AE→⋅AF→=1，CE→⋅CF→=−23，则λ+μ=¿()A.12B.712C.23D.56二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．2.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3．3.设{an}是首项为a1，公差为−1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b−c=14a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．5.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．6.已知函数f(x)＝|x2+3x)，x∈R，若方程f(x)−a|x−1)＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．三、解答题（共6小题，共80分）1.已知函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−❑√3cos2x+❑√34，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．2.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．¿Ⅰ¿求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；¿Ⅱ¿设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．3.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB/¿DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F−AB−P的余弦值．4.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB)=❑√32|F1F2)．(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．5.已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0,1,2,...,q−1}，集合A＝{x∨x＝x1+x2q+...+xnqn−1,xi∈M,i＝1,2,...n}．¿Ⅰ¿当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；¿Ⅱ¿设s，t∈A，s＝a1+a2q+...+anqn−1，t＝b1+b2q+...+bnqn−1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n．证明：若an<bn，则s<t．6.设f(x)＝x−aex(a∈R)，x∈R，已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2．¿Ⅰ¿求a的取值范围；¿Ⅱ¿证明：x2x1随着a的减小而增大；¿Ⅲ¿证明x1+x2随着a的减小而增大．参考答案与试题解析2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】将复数的分子与分母同时乘以分母的...