2003年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）函数的最小正周期．2．（4分）若是方程的解，其中，则．3．（4分）在等差数列中，，，则．4．（4分）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是．5．（4分）在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于．（结果用反三角函数值表示）6．（4分）设集合，，则集合且．7．（4分）中，若，则．8．（4分）若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项，公比的一组取值可以是，．9．（4分）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）10．（4分）方程的根．（结果精确到11．（4分）已知点，其中的为正整数．设表示外接圆的面积，则．12．（4分）给出问题：、是双曲线的焦点，点在双曲线上．若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是A．B．C．D．14．（4分）在下列条件中，可判断平面与平行的是A．、都垂直于平面B．内存在不共线的三点到的距离相等C．，是内两条直线，且，D．，是两条异面直线，且，，，15．（4分）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（4分）是定义在区间，上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是A．若，则函数的图象关于原点对称B．若，，则方程有大于2的实根C．若，，则方程有两个实根D．若，，则方程有三个实根三、解答题（共7小题，满分86分）17．（12分）已知复数，，求的最大值和最小值．18．（12分）已知平行六面体中，平面，，．若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积．19．（14分）已知数列为正整数）是首项是，公比为的等比数列．（1）求和：，；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．20．（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）21．（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围．22．（18分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：；（3）若函数，求实数的取值范围．一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）函数的最小正周期．【解答】解：对于，最小正周期故答案为：2．（4分）若是方程的解，其中，则．【解答】解：是方程的解，，即．又，，．．．故答案为：3．（4分）在等差数列中，，，则．【解答】解：由题意知，解得，故答案为4．（4分）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是．【解答】解：直线，化为，与垂直过的直线方程为：，这两条直线的交点是．所以的极坐标是．故答案为：．5．（4分）在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：如图，取的中点，作面则，设，则，，将平移到，为异面直线与所成角，，故答案为6．（4分）设集合，，则集合且．【解答】解：集合，集合...