2021年上海市春季高考数学试卷2021.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1-8未收集到9.在无穷等比数列{a}中，lim(aa)4，则a的取值范围是n1n2n【解析】(4,0)(0,4)，由题意，q(1,0)(0,1)，∴lima0，nn∴lim(aa)a4，∴aaq4q(4,0)(0,4)1n121n10.某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A运动B运动8点9点9点10点10点11点11点12点20分钟40分钟30分钟30分钟C运动D运动E运动7点8点30分钟【解析】23，由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合是不符题意的，∴C5C5C5C53235432y211.已知椭圆x21（0b1）的左、右焦点为F、F，以O为顶点，F为焦点作2122b抛物线交椭圆于P，且PFF45，则抛物线的准线方程是12【解析】x12，设F(c,0)，F(c,0)，则抛物线y24cx，直线PF1:yxc，124cx2y联立yxc，∴P(c,2c)，∴PFFF，PFFF2c，PF22c，2122121∴PFPF(222)c2a2c21，即准线方程为xc1212312.已知0，对任意nN*，总存在实数，使得cos(n)，则的最小值是22【解析】，在单位圆中分析，由题意，n的终边要落在图中阴影部分区域（其中52AOxBOx），∴AOB， 对任意nN*要成立，∴N*，632即，2kN*，同时，∴的最小值为k35二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13-14未收集到15.已知函数yf(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是（）A.f(x)为偶函数且关于直线x1对称C.f(x)为奇函数且关于直线x1对称B.f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称D.f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称【解析】选D，反例如图所示.选项D，易得f(n)n，nZ16.在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得ABCE0；②存在三角形△ABC，使得CE∥(CBCA)；成立的是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【解析】选B，不妨设A(2x,2y)，B(1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，①AB(12x,2y)，CE(x1,y)，若ABCE0，∴(2x1)(x1)2y0，2∴(2x1)(x1)2y2，满足条件的(x,y)明显存在，∴①成立；②F为AB中点，(CBCA)2CF，CF与AD交点即重心G， G为AD三等分点，E为AD中点，∴CE与CG不共线，即②不成立；故选B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD.（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PD与AC所成角的大小.【解析】（1） 正方形ABCD边长为4，△PAB为等边三角形，E为AB中点，∴PE23，13233VPABCD4223；3（2）如图建系，P(0,0,4)，D(2,4,0)，A(2,0,0)，C(2,4,0)，∴PD(2,4,4)，AC(4,4,0)，PDAC82∴cos，|PD||AC|64262即PD与AC所成角的大小为arccos61418.已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a2，cosC（1）若sinA2sinB，求b、c；.4（2）cos(A)，求c.452212c21【解析】（1）sinA2sinBa2b，∴b1，cosCc6；22144721021154（2）cos(A)cosA，∴sinA， cosCsinC，451042c530由正弦定理，csinAsinC219.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA||PB|20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA||QB|30千米，|QC||QD|10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（...