2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则A．B．C．D．2．命题“若，则”的逆否命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是ABCD4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为kg5．已知双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，则C的方程为A．B．C．D．6．函数的值域为A．B．C．D．7．在中，，，，则A．3B．7C．22D．238．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于点．记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为．当m变化时，ba的最小值为A．162B．82C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数）与曲线（为参数，）有一个公共点在轴上，则．10．不等式的解集为．11．如图2，过点的直线与⊙相交于两点．若，，，则⊙的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数（为虚数单位)，则．13．的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）14．如果执行如图3所示的程序框图，输入，则输出的数．15．函数的导函数的部分图象如图4所示，其中，为图象与轴的交点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．（1）若，点的坐标为，则；（2）若在曲线段ABC与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为．16．设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段2N个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．（1）当时，位于中的第个位置；（2）当时，位于中的第个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．19．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，记，，，（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）．（Ⅰ）设生产A部件的人数为，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值....