2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：由图知，.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间答案：C解析：A.低于万元的比率估计为，正确.B.不低于万元的比率估计为，正确.C.平均值为万元，不正确.D.万到万的比率为，正确.3.已知，则（）A.B.C.D.答案：B解析：.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（）A.B.C.D.答案：A解析：记，，由及，得，，又由余弦定理知，得，从而.6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若，则.①，则单调递增；②，则单调递减，∴甲乙，又若单调递增，则恒成立，∴恒成立，∴，，∴甲乙.综上：甲乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（）（）A.B.C.D.答案：B解析：过C作的垂线交于点M，过B作的垂线交于点N，由题意得，，，即.所以，所以.得A，C两点到水平面的高度差约为，故选B。9.若，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：.∴∴∴.又 .如图，.10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A.B.C.D.答案：C解析：把位置依次标为到.总数：先排个，有种，再排个，有一种，故共有种.满足题设的排法：先排个，有种.其间有个空，选个空插入有种.故.满足题设排法的另一种解释：的位置有，，，，，，，，，，共种.11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.答案：A解析：记为所在圆面的圆心，则.又，所以.所以.故选A.12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A.B.C.D.答案：D解析： 为奇函数，∴关于中心对称，∴.因为偶函数，故关于轴对称，周期为.∴，.即，.，.故.故选D.二、填空题13.曲线在点处的切线方程为.答案：.解析：，，.切线：.14.已知向量，，.若，则.答案：解析：，.所以.15.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为.答案：解析：如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.设，，则，得.所以，四边形面积为.16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为.答案：解析：由图可知，的最小正周期，∴. ，∴，∴，.∴，∴，.∴或.结合图像可知，满足的离轴最近的正数区间，无正数；的离轴最近的正数区间为，最小正整数.三、解答题（1）必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频...