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2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题1.设集合,,则()A.B.C.D.答案:B解析:由图知,.2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于万元至万元之间答案:C解析:A.低于万元的比率估计为,正确.B.不低于万元的比率估计为,正确.C.平均值为万元,不正确.D.万到万的比率为,正确.3.已知,则()A.B.C.D.答案:B解析:.4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为,则其视力的小数记录法的数据约为()()A.B.C.D.答案:C解析:代入,知,故.5.已知,是双曲线的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为()A.B.C.D.答案:A解析:记,,由及,得,,又由余弦定理知,得,从而.6.在一个正方体中,过顶点的三条棱的中点分别为,,,该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()A.B.C.D.答案:D解析:由题可得直观图,如下图.故选D.7.等比数列的公比为,前项和为,设甲:,乙:是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案:B解析:若,则.①,则单调递增;②,则单调递减,∴甲乙,又若单调递增,则恒成立,∴恒成立,∴,,∴甲乙.综上:甲乙,选B.8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为(单位:),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有,,三点,且,,在同一水平面上的投影,,满足,.由点测得点的仰角为,与的差为:由点测得点的仰角为,则,两点到水平面的高度差约为()()A.B.C.D.答案:B解析:过C作的垂线交于点M,过B作的垂线交于点N,由题意得,,,即.所以,所以.得A,C两点到水平面的高度差约为,故选B。9.若,,则()A.B.C.D.答案:A解析:.∴∴∴.又 .如图,.10.将个和个随机排成一行,则个不相邻的概率为()A.B.C.D.答案:C解析:把位置依次标为到.总数:先排个,有种,再排个,有一种,故共有种.满足题设的排法:先排个,有种.其间有个空,选个空插入有种.故.满足题设排法的另一种解释:的位置有,,,,,,,,,,共种.11.已知是半径为的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为()A.B.C.D.答案:A解析:记为所在圆面的圆心,则.又,所以.所以.故选A.12.设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则()A.B.C.D.答案:D解析: 为奇函数,∴关于中心对称,∴.因为偶函数,故关于轴对称,周期为.∴,.即,.,.故.故选D.二、填空题13.曲线在点处的切线方程为.答案:.解析:,,.切线:.14.已知向量,,.若,则.答案:解析:,.所以.15.已知,为椭圆的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为.答案:解析:如图,由及椭圆对称性可知,四边形为矩形.设,,则,得.所以,四边形面积为.16.已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数为.答案:解析:由图可知,的最小正周期,∴. ,∴,∴,.∴,∴,.∴或.结合图像可知,满足的离轴最近的正数区间,无正数;的离轴最近的正数区间为,最小正整数.三、解答题(1)必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分別用两台机床各生产了件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:,答案:见解析解析:(1)由表格数据得:甲机床生产的产品中一级品的频率为;乙机床生产的产品中一级品的频...

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