2023高二数学同步讲义(A版选必二)4.3.2 等比数列的前n项和公式(原卷版).docx本文件免费下载 【共17页】

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免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com4.3.2等比数列的前n项和公式课程标准课标解读1.掌握等比数列前n项和公式及求取思路,熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二,能用通项与和求通项.2.会利用等比数列性质简化求和运算,会利用等比数列前n项和的函数特征求最值.3.能处理与等比数列相关的综合问题通过本节课的学习,要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式,能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系,用函数的思想解决等比数列的相关问题,会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com知识点1等比数列的前n项和公式已知量首项a1,项数n与公比q首项a1,末项an与公比q公式Sn=Sn=注:(1)等比数列前n项和公式的推导若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和?思路一:因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn,发现上面两式中有很多相同的项,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn,即(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,有Sn=,而当q=1时,Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法,我们称为“错位相减法”.思路二:当q≠1时,由等比数列的定义得:==…==q,根据等比数列的性质,有==q,=q⇒(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=,该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比数列的性质,推导出了公式,通过上述两种推导方法,我们获得了等比数列的前n项和的两种形式,而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化.思路三:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1),所以有Sn=a1+qSn-1⇒Sn=a1+q(Sn-an)⇒(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=或Sn=,显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使我们不拘泥于课本,又能使问题得到解决.(2)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.(nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个(3)注意求和公式中是nq,通项公式中是1nq不要混淆;(4)应用求和公式时1q,必要时应讨论1q的情况.在应用公式求和时,应注意到Sn=的使用条件为q≠1,而当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.(5)等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1).即Sn是n的指数型函数.(Sn==-qn+,设A=-,则Sn=Aqn-A.)免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.【即学即练1】(2022·贵州黔东南·高二期末(理))已知等比数列的前项和为,且,,则()A.64B.42C.32D.22【即学即练2】(2022·云南曲靖·高二期末)已知等比数列的前n项和为,公比.若,则__________.【即学即练3】(2022·全国·高二课时练习)已知数列的前项和.(1)若,当常数满足什么条件时,数列是等比数列?(2)若,当常数、满足什么条件时,数列是等比数列?知识点2等比数列前n项和的性质1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.注意点:等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0.注:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍成等比数列,证明如下:思路一:当q=1时,结论显然成立;当q≠1时,Sn=,S2n=,S3n=.S2n-Sn=-=,S3n-S2n=-=,而(S2n-Sn)2=2,Sn(S3n-S2n)=×,故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.思路二:由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn,S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com2.{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,...

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