免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.1.1椭圆及其标准方程课程标准核心素养1.了解椭圆的实际背景．2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.数学抽象直观想象知识点1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com①若，M的轨迹为线段F1F2；②若，M的轨迹无图形【即学即练1】(多选)下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则等于()A．10B．8C．5D．4【即学即练3】若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6B．7C．8D．9知识点2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2注：（1）椭圆标准方程的推导以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comMF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，所以＋＝2a.①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得＋＝1，⑤由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？答：＋＝1(a>b>0)．（2）椭圆的标准方程的特征①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．②代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．③给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．）【即学即练4】椭圆＋＝1的焦点坐标是()A．(±5,0)B．(0，±5)C．(0，±12)D．(±12,0)免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【即学即练5】若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A．1B．2C．4D．6【即学即练6】若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．8【即学即练7】若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．【即学即练8】已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1知识点3椭圆的焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1P...