免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.3幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数,叫做幂函数,其中为常数.知识点诠释:幂函数必须是形如的函数,幂函数底数为单一的自变量,系数为1,指数为常数.例如:等都不是幂函数.知识点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象:(1);(2);(3);(4);(5).知识点诠释:幂函数随着的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:(1)所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点;(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象;(2)若幂函数的定义域为或,作图已完成;若在或上也有意义,则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数,则根据轴对称作出第二象限的图象;如果为奇函数,则根据原点对称作出第三象限的图象.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义,设幂函数或确定函数中相应量的值.(2)结合幂函数的性质,分析幂函数中指数的特征.(3)如函数是幂函数,求的表达式,就应由定义知必有,即.4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性,当不便于利用单调性时,可与0和1进行比较.常称为“搭桥”法.(2)比较幂函数值的大小,一般先构造幂函数并明确其单调性,然后由单调性判断值的大小.(3)常用的步骤是:①构造幂函数;②比较底的大小;③由单调性确定函数值的大小.【题型归纳目录】题型一:幂函数的概念题型二:求函数解析式题型三:定义域问题题型四:值域问题题型五:幂函数的图象题型六:定点问题题型七:利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八:比较大小题型九:幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一:幂函数的概念例1.(2022·全国·高一课时练习)现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】幂函数满足形式,故,满足条件,共2个故选:B【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数,幂函数底数为单一的自变量,系数为1,指数为常数.例2.(2022·全国·高一专题练习)下列函数是幂函数的是()A.B.C.D.【答案】C免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】形如的函数为幂函数,则为幂函数.故选:C.例3.(2022·全国·高一专题练习)下列函数是幂函数的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】形如(为常数且)为幂函数,所以,函数为幂函数,函数、、均不是幂函数.故选:C.例4.(2022·河北·高一阶段练习)下列函数,既是幂函数,又是奇函数的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据幂函数的定义:形如的函数是幂函数,排除A;的定义域为,不关于原点对称,所以是非奇非偶的函数,所以排除B;是偶函数,所以排除C;,既是幂函数,又是奇函数,所以选D.故选:D.题型二:求函数解析式例5.(2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),那么这个幂函数的解析式为___________.【答案】【解析】设幂函数, 幂函数的图象经过点,∴,∴,∴这个幂函数的解析式为.故答案为:.【方法技巧与总结】免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,对表现形式要求非常严格.判定一个函数是否为幂函数,关键看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数,且为任意常数;②底数为自变量;③系数为1.例6.(2022·广东·江门市广雅中学高一期中)已知幂函数的图象关于y轴对称,则_________.【答案】1【解析】因为为幂函数,所以,解得或,当时为偶函数,函数图象关于轴对称,符合题意;当时为奇函数,函数...