免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com1.2集合间的基本关系【知识点梳理】知识点一．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作：A=B读作：A等于B.图示：知识点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．知识点二．真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点三．空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的子集。结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【题型归纳目录】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题题型二：韦恩图及其应用题型三：由集合间的关系求参数的范围题型四：集合间的基本关系题型五：判断两集合是否相等题型六：根据两集合相等求参数题型七：空集的性质【典型例题】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题例1．（2022·广东·金山中学高一期中）已知集合，则的真子集有________个；若，则________．【答案】；.【解析】【分析】空一：根据集合真子集个数公式进行求解即可；空二：利用代入法，结合集合元素互异性进行求解即可.【详解】空一：因为集合中元素的个数为，所以的真子集的个数为：；空二：因为，所以有或，当时，，这样不符合集合元素的互异性，当时，，或，当时，集合当时，，这样不符合集合元素的互异性，所以，故答案为：；例2．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________【答案】16【解析】【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.【详解】解：，故A的子集个数为，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com故答案为：16例3．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知集合．（1）若有两个子集，求的取值范围；（2）若中至多有两个子集，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围；（2）由中元素个数为1或0可得结论．【详解】（1）①时，为一次方程，，符合题意；②时，若中只有一个元素，则，即．或．（2）中至多只有一个元素：①中只有一个元素，由（1）知或；②中没有元素，则此时，解得，所以的取值范围为．例4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.【答案】答案见解析【解析】【分析】首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集；【详解】解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；例5．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且．(1)求实数的值；(2)写出集合A的所有子集．【答案】(1)1(2)，，，，，，，【解析】免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【分析】（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.(1) ，当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：(2)由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，例6．（2022·全国·高一课前预习）写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?【答案】子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.【解析】【分析】利用子集和真子集定义求...