免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题02恒成立、能成立问题【方法技巧与总结】1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.【题型归纳目录】题型一：分离参数题型二：判别式法题型三：数形结合题型四：多变量的恒成立问题题型五：主元法题型六：直接法【典型例题】题型一：分离参数例1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知.(1)求函数f（x）的表达式；(2)判断函数f（x）的单调性；(3)若对恒成立，求k的取值范围．【解析】（1）设，，可得.，即（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com ，∴，，∴∴，∴为R上的增函数．（3）由对恒成立，即对恒成立，可得，则，，.设，，由（2）知，故原不等式可化为在恒成立，，当时，，∴，∴的取值范围是．例2．（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，函数定义域为.(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)函数在单调递增，求a的取值范围；(3)在（2）的条件下，若对内的任意实数x，不等式恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）由函数可得：；（2）任取，则免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com因为函数在单调递增，所以.因为，所以，，所以，即在上恒成立.因为，所以，所以，所以.即实数a的取值范围为.（3）由（1）可知，，所以不等式可化为：不等式.因为在单调递增，所以恒成立，即在上恒成立.记.令，则，所以在上单调递增，所以.所以，即实数a的取值范围为.例3．（2022·宁夏·隆德县中学高三期中（文））已知函数，函数.(1)若函数有唯一零点，求；(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；【解析】（1）当时,，函数有唯一零点，当时，由，解得，函数有唯一零点1，综上：或2；（2）依题意得，即在上恒成立，转化为在上恒成立，即上恒成立，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com转化为在上恒成立．令，则问题可转化为在上恒成立，因为在上单调递减，所以当时，，所以，所以的取值范围为.变式1．（2022·浙江·高一期中）已知函数，.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)若关于x的不等式对于恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）为奇函数.证明如下：由，得，令，则的定义域为，故定义域关于原点对称，，故为奇函数，即为奇函数.（2）由得，，由于,所以，由于，所以，故，记，由于在上单调递增，故，所以，故的最大值为，所以题型二：判别式法免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例4．（2022·山东·潍坊一中高三期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C．例5．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）关于x的不等的解集为R，则a∈（）A．B．(0，+∞)C．(0，1)D．【答案】D【解析】当时，对恒成立，符合题意；当时，构造，要使对恒成立，由二次函数的图像可知：且，解得：，综上：．故选：D．例6．（2022·山东省实验中学高一期中）已知定义域为的函数是奇函数．(1)求a，b的值；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(2)判断并证明函数的单调性；(3)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，，解得.故，.则，符合题意（2）由(1)中知，，由指数函数的单调性，在上单调递减，证明：设，，，则，由指数函数单调性可知，，即，故，即，所以在上单调递减.（3）因为...